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1) 3. Indiquons quelques applications de ce théorème général : 



» a. Soit f une fonction donnée, assujettie aux conditions du théc- 



rème III. Posons : 



p 



f^^Ky,\-^p sur (S). 



Le théorème II nous donne (en y posant i]/ /), 



lim / cpRpf/* = o. 



Supposons encore que la série Va^ Va converge uniformément sur (S). 



/[=0 



On trouve 



lim / çR^ f/* = / (p lim R^ ds = o, lim R^ -- o. 



On peut donc énoncer le théorème suivant : 



ao 



)i III. La série V A^ V^ a f pour somme en tout point de (S) sous la seule 

 /. = » 

 condition que cette série soit uniformément convergente sur (S ). (Comparez 

 Ed. Le Roy, Annales de l'École Normale, p. 67 ; 1 8g8. ) 



11 b. Désignons par G la fonction de Green correspondant au pôle 

 (x, y, z), situé à l'intérieur de (S). Appliquons le théorème II à l'intégrale 



ds. 



(3) //§■ 



OÙ n désigne la direction de la normale intérieure à (S). Nous aurons 



» Si/ est continue sur (S ), l'intégrale (3) définit une fonction harmo- 

 nique à l'intérieur de (S) se réduisant àf sur (S) (voir mon Mémoire cité, 

 p. 271; A. LiAPOUNOFF, Sur certaines questions, etc., p. v3ij). On a donc, 

 Y^ étant continue sur (S), 



)) Il s'ensuit que 



A=0 



