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 » Plus particulièrement, donnons à R telle valeur que == — ,- 



soit de la forme ^^j h élant un entier positif, premier avec 3 



» Les principes exposés dans une Note précédente (i6 juillet) vont 

 nous permettre d'affirmer que les solutions périodiques de cette catégorie 

 sont instables (tout en paraissant stables à la première approximation). 



» Je supposerai pour un moment que l'on donne au paramètre (j. seule- 

 ment des valeurs [j.', pour qui les exposants caractéristiques de la solution 



périodique (par rapport au^vstème réduit (3), qui sont purement imagi- 

 naires et très voisins de-^^^^^^ | seraient commensurables avec Les 



considérations de ladite Note sont alors applicables. On doit, en premier 

 lieu, substituer à p.2, q-, deux nouvelles variables canoniques x et y 

 telles que l'expression de H ne contienne plus ni termes du premier ordre 

 ni termes du second ordre par rapport à x, y. Le critérium d'instabilité, 

 c'est que la valeur moyenne (Hg) de H3 n'ait pas de facteurs multiples 

 (H3 désigne l'ensemble des termes du troisième degré dans H et la valeur 

 moyenne se rapporte à la variable ^,, de laquelle H est, même après la 

 substitution de x,y à p^^ q.^, fonction périodique). Si \j.' est assez petit, il 

 suffit que cette condition soit satisfaite pour le premier coefficient non nul 

 du développement de (H3) suivant les puissances de \j.. Or, en j)osant 

 (H3) = (H3)'») + (y.(H3)'"+-...,ontrouve(H3)f'"=o,(H3)('J=0(ic' — 3y-a;), 

 oîi j0 dépend uniquement de R et ne s'annule pas identiquement, ni non 



plus pour les valeurs de la forme -^ r- 



V' + T^- 

 » L'instabilité est donc certaine pour les solutions périodiques de l'es- 

 pèce considéré, pourvu toutefois que JJ^ ait une valeur \j' • Mais on peut se 

 débarrasser de cette dernière restriction. On parvient ainsi à établir que 

 tes solutions périodiques du problème restreint des trois corps, qui différent 

 assez peu des orbites circulaires, ayant pour moyen mouvement un nombre de 



3 

 la forme i + ï> sont assurément instables. 



» Les conditions ci-dessus sont à fort peu près satisfaites pour les petites 



