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Or, ce nouveau système peut s'écrire également sous forme canonique 



dxi , (JF' ôv; dW 



(3) 



di dv, ci-. dxi 



où F'= log(T + a) — log(U 4- 2a) = const. 



)< F' doit être nulle à cause de (i'). Le système (3) est complètement 

 équivalent au système (i). 



» En effet, après l'avoir intégré, nous pouvons exprimer les y et a; en 

 fonction de t de même que T ou U, et nous obtenons alors t par une 

 dernière quadrature à l'aide de (2) : 





dz 



-ha 



» L'intégration du problème des n corps (i) revient donc à l'intégration 

 du système (3). 



» Or ce dernier système admet une intégrale de plus que le système (i). 



» En effet nous multiplions les équations (3) respectivement par y, 

 et Xj et ajoutons : 



» En tenant compte des relations (a) et de (r'), on voit que le second 

 membre de cette équation est égal à l'unité. 



» Il en résulte l'intégrale suivante du système (3) 



(4) ^fi^i-'i-^- 



c. 



» Il est évident que (4) ne peut élre composée des intégrales connues 

 du problème des n corps, car elle coutient t qui ne peut s'exprimer d'une 

 façon connue en fonction de /, des x et des j'. 



» Donc, au lieu de traiter le problème des n corps (i), on peut traiter 

 un autre problème (3), admettant une intégrale de plus (4). 



» Car pour le système (3) les intégrales des aires et les premières in- 

 tégrales des centres de gravité subsistent comme pour le système (i). Les 

 secondes intégrales des centres de gravité existent encore, si les premières 

 intégrales des centres de gravité sont nulles, c'est-à-dire, si le système de 

 coordonnées suit le mouvement du centre de gravité. 



» La transformation précédente peut aussi être obtenue par les méthodes 



