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GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces isothermiques. Note de M. A. Thybaut. 



« Dans sa Communication du 19 novembre dernier, M. Servant ayant 

 énoncé une proposition qui figurait dans un Mémoire que je publierai 

 bientôt, je crois devoir dès maintenant indiquer quelques résultats con- 

 tenus dans ce Mémoire. 



» On peut établir par la Géométrie le théorème suivant : 



« La condition nécessaire et suffisante pour que les deux nappes de l'enve- 

 loppe d'une sphère variable dépendant de deux paramétres se correspondent 

 avec simditude des éléments infiniment petits est que les deux points de con- 

 tact M et M' de chaque sphère avec son enveloppe soient conjugués harmo- 

 niques par rapport aux points focaux, supposés distincts, de la droite MM'. 



» Le théorème est encore applicable dans le cas où les deux surfaces 

 (M) et (M') se correspondent par plans tangents parallèles, à condition 

 que (M) et (M') ne soient pas des surfaces minima. 



» On déduit facilement de celte proposition que, dans les deux modes 

 de correspondance, les surfaces (M) et (M') sont isothermiques, et l'on 

 retrouve ainsi des propositions de M. Christoffel et de M. Darboux. 



» Appliquons le théorème précédent à une enveloppe particulière de 

 sphères dépendant de deux paramètres. Supposons que les normales aux 

 deux nappes en deux points corresjjondants soient toujours dans un plan 

 passant par un poiiit fixe O. Les deux su/faces sont alors les deux nappes de 

 l'enveloppe d'une sphère variable coupant une sphère fixe (S) de centre O 

 ious un angle constant; lious dirons, pour abréger, qu'elles constituent 

 les deux nappes d'une enveloppe E. Deux surfaces parallèles ou leurs in- 

 verses par rapport à O correspondent aux cas limites où l'angle constant 

 est infini et le rayon de la sphère fixe infini ou nul. 



)i Les cercles (yynormaux aux deux surfaces en deuxpoints correspondants 

 sont orthogonaux à la sphère fixe (S), ils forment un système cyclique. Deux 

 surfaces quelconques normales aux cercles constituent les deux nappes d'une 

 enveloppe E; soit h l'angle constant correspondant. Si on laisse fixe l'une 

 des deux surfaces et si l'on fait varier h, la seconde surf ace coïncide successive- 

 ment avec toutes les surfaces normales aux cercles (y). 



)) Prenons pour origine le centre O de la sphère fixe (S) que nous sup- 

 poserons de rayon i. Désignons par^ la distance du point O au plan tan- 

 gent en M à la surface (M), par q le demi-carré de OM, par p et p, les 

 rayons de courbure de (M). Les éléments correspondants de la seconde 



