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 nappe (M') seront représentés p-w p', q' , p', p', . On établit les relations 



, I 



p — cos h p' — cos h , sin' h "' ^< 



^ = = cos A H - 



I / ' cos /î /■ I \ / , 1 \ 



1) Introduisons, pour simplifier, un angle k lié à h par l'équation 



2 cos A cosX- =: ros' A -f- 1 , 

 on trouve entre les rayons de courbure correspondants des deux nappes 



f 



— sin-/' -\p — ros/î- - 



» Supposons maintenant que les deux nappes (M) et (M) d'une enve- 

 loppe E se correspondent avec similitude des élémenls infiniment petits; 

 on déduit de la proposition énoncée au début le théorème suiv.mt • 



)) 5« la normale en M à l'une des nappes (M) d'une enveloppe Y. passe pai 

 le conjugué harmonique du point. yV par rapport aux centres de courbure cor- 

 respondants de l'autre nappe (M') : i° la normale à (W) possède la même 

 propriété; 2" les deux surfaces sont isothermiques et se correspondent avec 

 similitude des éléments infiniment petits. 



» Les deux surfaces (M) et (M') satisfont alors à la relation 



(i) 2pp,(/) - cosZ-) — (p-f-p,)(7-i)=o, 



qui, lorsqu'oo lui applique la Lransformatioii de M. Weingarten, fiit con- 

 naître les surfaces applicables sur le paraboloïde; (M) et (M') sont les 

 deux surfaces isothermiques que j'ai associées, dans ma Thèse de Doctorat, 

 à la déformation du paraboloïde. 



» Les cercles (y) normaux à la snhére fixe (S) et à une surface isother- 

 mique (M) définie par la relation (i) sont normaux à Vautre nappe iso ther- 

 mique (M'), et, par suite, à deux autres surfaces isothermiques (N) e/(N') 

 inverses de (M) et (W) par rapport au point O. Il résulte des propositions 

 énoncées |)récédemment c[ue chacun des six couples de surfaces qu'on ohtiejit 

 en associant deux à deux les quatre surfaces (M), (M'), (N), (N') constitue 

 les deux nappes d' enveloppe E. 



» Les ligues de longueur nidle cl les lignes de courbure se correspon- 

 dant sur les quatre surfaces, le théorème précédent contient la proposi- 

 tion énoncée par M. Servant dans sa dernière Communication. 



» M. Darboux a associé à chaque surface applicable sur une quadrique 



