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 huit surfaces isothermiques qui correspondent à chacune des huit généra- 

 trices isotropes de la quadrique; lorsque cette quadrique est un parabo- 

 loïde, on peut établir que les surfaces isolhermiques (M), (M'), (N), (N'), 

 définies précédemmenf, correspondent aux quatre génératrices isotropes 

 du paraboloïde qui sont rejetées à l'infini. Lorsqu'on connaît ces quatre 

 surfaces, qui satisfont à la relation (i), on obtient, par des quadratures, 

 les quatre autres surfaces isothermiques correspondant aux génératrices 

 isotropes à distance finie. 



» La relation qui existe entre les coordonnées pentasphériques des deux 

 surfaces (M) et (M') est indiquée par la proposition suivante : 



» Chaque surface applicable sur le paraboloïde fait connaître une équation 

 de Laplace de la forme 



= W0, 



da<jp 



satisfaisant aux deux conditions suivantes : i° elle possède un groupe de cinq 

 solutions dont la somme des carrés est nulle; 2° si l'on applique à l équation la 

 transformation de M. Moutard relative à l'une de ces cinq solutions w, la somme 

 des carrés des cinq fonctions correspondantes est nulle. Il en résulte que 

 l'équation transformée aura la même définition que la première. 



» On peut considérer les deux groupes correspondants de cinq solutions 

 comme les coordonnées pentasphériques de (M) et (M). La solution co est 

 liée aux éléments géométriques des deux surfaces par les relations 



i = (^^ - 0(p^ - ^) = - ^■'"''^ • <^y' - '^fe - i)- 



» L'égalité des deux derniers membres exprime la condition nécessaire 

 et suffisante pour que les deux nappes d\ine enveloppe E se correspondent avec 

 similitude des éléments infiniment petits. 



» Quelques-uns des résultats qui précédent peuvent être généralisés. 

 Désignons par a, b, c trois constantes quelconques et considérons les sur- 

 faces (i) définies par l'équation 



(2) 2 pp, (;> + «) - (p + p,)(^-|-/7)+c = o, 



dont r intégral ion fait connaître les surfaces applicables sur une quadrique quel- 

 conque. On peut déduire facilement de chaque surface (2) trois autres 

 surfaces satisfaisant à la même équation; ces quatre surfaces sont liées 

 simplement aux huit surfaces isothermiques de M. Darboux. 



» Considérons, parmi les huit surfaces isolhermiques, un couple de surfaces 

 (A) et (A') ayant la même représentation sphérique; si l'on mène par un point 



