(935) 



fixe un segment égal et parallèle au segment AA' qui joint deux points corres- 

 pondants, l'extrémité de ce segment décrit une surface (2) satisfaisant à fa 

 relation {i) et avant la même représentation sphérique que (A) e? (A'). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le minimum de certaines intégrales. 

 Note de M. H. Lebesgue, présentée par M. Picard. 



« Lorsque l'on cherche à démontrer qu'une fonction /(E) de certains 

 éléments E atteint son minimum, parla méthode qui sert pour les fonctions 

 continues de points, on est conduit aux deux opérations suivantes : 



» I. Choisir une suite d'éléments E, , E^, . . . ayant un élément limite e, 

 et tels que/(E,), /(E,), ... tendent vers la limite inférieure mf(E) de 

 /•(E). 



» II. Démontrer que/(é') = /n/(E). 



» Nous effectuerons ro|)érafion I à l'aide d'une méthode que M. Hilbert 

 a indiquée dans une Note des Nouvelles Annales ('), Note qu'il avait déjà 

 présentée en septembre 1899 au Congrès de Munich. M. Hilbert expose 

 cette méthode sur deux exemples, puis il indique qu'elle peut s'appliquer 

 à d'autres cas; c'est, en effet, par un procédé analogue à celui de M. Hilbert 

 que j'ai pu aborder la recherche de la surface passant par un contour et 

 dont l'aire est un minimum (^). 



» J'énoncerai la remarque de M. Hilbert sous la forme suivante : Lorsque 

 des fonctions y continues dans un domaine D ont leurs nombres dérivés, 

 au sens de Dini, limités supérieurement en valeur absolue, il suffit de 

 choisir une suite de fonctions /ayant des limites pour les points d'un 

 ensemble dénombrable partout dense pour avoir une suite tendant unifor- 

 mément vers une fonction limite. 



» Pour effectuer l'équation II, il suffit de démontrer que, dès que E est 

 assez voisin de e, on a, t étant donné à l'avance, 



/■(e)</(E) + a. 



La fonction f{E) satisfait donc, pour E := r", à l'une des deux inégalités 

 qui expriment que la fonction est continue. M. Baire dit qu'une telle 

 fonction est égale à son minimum pour E = e. 



(') Août igoo. 



C) Comptes rendus, 26 novembre 1899. 



