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 » Dans la suite, je considérerai les fonctions 



/(C)= fY{x,y,z.)d,, y(,S)= f fF(sr,y,z). 



■la. 



La courbe C, la surface S satisfaisant à certaines conditions aux limites; 

 Y{x,y, z') étant continue dans le domaine où varie C ou sur la sur- 

 face S, si C est assujettie à rester sur S. C étant rectifiable, S quarrable, 

 les fonctions /(C),y"( S) sont partout égales à leur minimum, c'est-à-dire 

 que, si C,- (ou S,) tend uniformément vers C (ou S), /(C) [ou /(S)] est au 

 plus égal à la plus petite des limites de/(C,) [ou /(S,)]. Donc pour les 

 fonctions /(C), /(^), ll'"{ff'f d'effectuer l'opération I. 



» Prenons /(G) et supposons, ce qui arrivera, par exemple, si F]>K>-o, 

 que/(C;) tende vers mf(C), la longueur de C, n'augmentant pas indéfi- 

 niment. On pourra exprimer les coordonnées des C, en fonction de t 

 (o<^/<C à l'aide de fonctions ayant des nombres dérivés limités supé- 

 rieurement. De ce qui précède il résulte que _/(C) atteint son minimum, 

 quelles que soient les conditions aux limites (extrémités doinices, sur des 

 courbes, des surfaces données). 



» A une surface rectifiable S, correspond un nombre K,, limite supé- 

 rieure des nombres dérivés des fonctions qui définissent .r, y, z, considé- 

 rées comme fonction d'une seule des deux variables qui y entrent. Ceci 

 posé, prenons /(S) et supposons que /(S,) tende vers mf(S), les S,- 

 étant rectifiables sans que les nombres K, correspondants augmentent 

 indéfiniment. On se trouve dans les conditions où s'applique la méthode 

 de M. Hilbert et il existe une surface rectifiah'c S qui rend f{^) minimum, 

 quelles que soient les conditions aux limites (contour donné, ou sur des 

 surfaces données). Par exemple, soit F = i et supposons donné comme 

 contour de la surface un quadrilatère gauche se projetant sur le plan des 

 xy, suivant un quadrilatère convexe. On pourra prendre pour les S, les 

 surfaces polvédrales à '->, 3, 4. ••• faces dout les aires sont minima. Ce sont 

 des surfaces de la forme :; =f(^x,Y); les angles aigus des faces avec le 

 plan des xy sont limités supérieurement, donc on se trouve dans les condi- 

 tions précédentes. 



)) Supposons maintenant que l'on sache seulement des S, qiiarrables 

 que leurs aires sont limitées supérieurement, ce qui se présentera par 

 exemple si F]>K>o. Alors la méthode de M. Hilbert, un peu transfor- 

 mée, permet de trouver une suite de surfaces telles que les sections de 

 ces surfaces par trois séries partout denses de plans parallèles aux plans 



