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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions bornées et inlégrables. 

 Noie de M. Léopold Tejér, présentée par M. Picard. 



00 



« On sait que, si la série '^a„ est convergente, la limite 



(0 



lim^ 



n = 



existe et est égale à ^«„, où <;„_, désigne la somme ^a„. 



1 /I=0 



» Nous devons ranger, parmi les séries divergentes les plus simples, 

 les séries pour lesquelles existe au moins la limite (i). Une série diver- 

 gente de telle sorte est la suivante : 



(a) -cos^ + cosaS + . . . -I- fos(« — i)S + .... 



Ici l'on a 



\ ' Il in i — cos 6 



et donc (pour 8^ 2^-7:) 



lim 



n ^00 



)) Nous voulons d'abord démontrer que la série de Fourier d'une fonc- 

 tion bornée et intégrable appartient à la classe des séries pour lesquelles 

 la limite (i) existe. 



» Avec plus de précision, on a le théorème : 



I 1 



» I. Soit /(a;) une fonction ior/ze'e et m^eVraife dans l'intervalle 0,27:, 



c'est-à-dire de o à 277, en y comprenant les extrémités E; alors la série de 



Fourier correspondante à /^(o:) 



(4) 



/'(a)rfa -)- V - / /'(a)cosn(a — a;) rfa 



peut être divergente; mais en tous les points x, pour lesquels y*(a;) est 

 continue ou possède une discontinuité du premier genre [c'est-à-dire 

 f(^x -+- o),f{x — o) sont finis, mais distincts], la limite 



I- Sfy~\- Sq~\- . . . -\~ Sn^i 



lim 



