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existe et est égale à ^ [/{oo -\- o)-+-/(a; — o)J, où ^„_, désigne la somme 

 des «premiers termes de la série (4). 



)) En effet, en employant l'identité (3), on a 



^^■> n =^«=7;rïj„ - ._cos(a-^) -/(°^)^^- 



» Soit /(a-) continu en x. Alors étant donné un nombre S aussi petit 

 qu'on veut, on peut fixer un autre nombre e, tel que 



\f(a- + h)-/(œ)\<?> 

 lorsque | A | 5 e. Nous pouvons écrire 



•» Mais si nous désignons par M le maximum de la valeur absolue de 

 /(x) pour l'intervalle 0,27;, nous avons 



I _L_ /""''. . . I < I 3A£szlL 



2 W t: J|j ^ /« 7: ( 1 — COS E ) 



M [2Tt— (^ + 3)] 



I r' y_ M[2Tt — 



■ cose) 

 et appliquant le premier théorème de la moyenne (ce qui est possible, car 



I — cos«(a — j:-) , . . ■ .■c\ 



r n est jamais nesatii) 



'^d'X 



I — cos(a— x) 



" LJ \ / 2/tTt7^_^ I — cos(a — :c) 



où I r, I -< s et lim e^, ^ o. 



» Mais on peut décomposer 



2«'^J.,._ç I — cos(a — a;) 2/j7îJ^ \2/iT:J^ 2nT.J^^J 



Les deux termes entre crochets tendent vers o pour /? = -x:. Or, en appli- 

 quant l'identité (3) 



I / 1 — COS /l(% — x) , 



/ 7^^ -, rfX = I , 



IllT^ J I — COS (a — x) 



on aura donc 



s„(^) = [/(a;) + •,](! + a;;) + <„ 



où lim i\ = o, et par suite, si n est suffisamment grand, 



iS„(x-)-/(a^)|<2S. 



