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)) On peut traiter de la même manière le cas d'une discontinuité du 

 premier genre, et le théorème est établi. 



» Remarquons maintenant que l'on a pour une fonction bornée et inte- 

 grable le développement 



f{x) := S, + (S, - S,) 4- . . . + (S„^. _ S„) + . . .. 



» Mais, d'après la définition de S„ sous (5), on a 



_ 1 r^'^ /■/ s »| + (« — i) cos(t — a;) +■ ■ ■ + cos(/i— i)(g — x) , 



= î-o + >., cosa; 4- jj., sina? + . . . -f- ).„_, cosn -- i x -\- jj.„_, sin/i — i x. 



» On peut donc conclure 



)) II. Une fonction èor/iee et i/iieo^raWe admet un développement 



00 



où le lerrne général est une suite finie de Fourier. 



» La série converge pour toutes les valeurs de x, où/(x) est continu, 

 ou possède une discontinuité du premier genre, et a pour somme 

 i[f(x + o)+/(.v-o)]. 



» Remarques. — On voit aisément que l'intégrale 'S„(j7) converge uni- 

 formément vers /(x) dans un intervalle b, c, où /(x) est continu sans 

 exception, c'est-à-dire on peut trouver une série finie de Fourier : S„{x), 



telle que 



\S„(x)-/(x)\<li, 



sin]>N pour tous les points de b, c. De ce fait résulte le théorème de 

 Weierstrass : 



ce 



» Une fonction continue admet un développement ^./«(aj), où /„(,r) 



désigne un polynôme. (Voir aussi la Note de M. Picard, Comptes rendus, 

 t. CXII; 1891, et Traité d'Analyse, t. I.) 

 )) En partant de l'équation 



