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a = const. Par un choix convenable de paramètres ii et v, on peut mettre 

 le carré de l'élément linéaire de la représentation sphérique sous la forme 



Les rayons de courbure principaux ont alors pour valeur 



K ^ cp(/-), R' --^ cp(A-) - kff'(/c). 



» Cela rappelé, attachons à tout point M de la surface le Irièdre habi- 

 tuel MXYZ, dont les arêtes MX, MY sont tangentes aux lignes de cour- 

 bure qui se croisent en M; puis, par le point O, origine des coordonnées, 

 menons le Irièdre Oxyz parallèle au précédent. 



» Sur Ox prenons un point P, d'abscisse u; le plan mené par ce point, 

 jiarallèlement au plan des y^, louche son enveloppe, que nous appellerons 

 (S,), en un point M', situé dans le plan des xz à une dislance — ^- de 

 l'axe Ox. 



» Prenons de même, sur Oj, un point P. à une distance (^ de l'origine; 

 le plan mené par ce point, perpendiculairement à Oj, touchera son enve- 

 loppe ( S!,) en un point M'^ situé dans le plan de y: à une distance <p'{ /t) de 

 l'axe Oy. 



» Ainsi se trouvent définies les deux surfaces que nous nous proposons 

 d'étudier. 



» Les deux surfaces (S,) et (S\), qui se correspondent acec parallélisme 

 des plans tangents, ont même représentation sphérique de leurs lignes de cour- 

 bure. Il en est de même des surfaces (S^) et (S',). 



» Nous venons de définir les surfaces (S^ ) et (S,j) en partant de la sur- 

 face de Weingarten (S), mais chacune d'elles jouit d'une jjropriélé qui ne 

 dépend que de la relation entre les rayons de courbure principaux de (S), 

 c'est-à-dire de la fonction (p(^). Occupons-nous, par exemple, de la sur- 

 face (S,). Soient A, et B, les centres de courbure principaux en M,, et C, 

 le point où la normale en M', rencontre l'axe O;;. On a 



ko'il<) 



C.A, .C.B, 



<f"(^-: 



» Comme OC, — — k, le produit C, A, .C, B, est une fonction de OC, ( ' ). 

 (') En employant des notations analogues pour (Sj), on peut écrire 



et 



C2A,.C,B,r=A(p'(Â)<f'^(A') 



ÔC;=;ç.'(/,). 



