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 Cette propriété se traduit par l'équation 



où p', f désignent les rayons de courbure principaux, p la distance (déjà 

 désignée par ii) de l'origine alu plan tangent et iq le carré du rayon vec- 

 teur om; . I 



5) A toute surface (S,) satisfaisant à cette équation, on peut faire cor- 

 respondre, par trois quadratul-es, une surface (S,) admettant un élément 

 linéaire de révolution donné et, par suite, une surface de Weingarlen (S). 



» Il semble donc qu'on soit en possession d'une méthode nouvelle de 

 recherche des surfaces applicables sur une surface de réA^olution. En réa- 

 lité, cette méthode n'est pas essentiellement différente de celle qui résulte 

 de l'application, au cas qui nous occupe, de la méthode générale de Wein- 

 garten pour la déformation d^ surfaces. C'est ce que nous allons mettre en 

 lumière. 



» L'équation (A) peut s'écrire 



tj/ dépendant seulement de l'argument/)- — iq. On reconnaît là (voir G. 

 Darboux, Leçons, IV Partie, Chap. XIII) un cas particulier de l'équation 

 à laquelle M. Weingarten a ramené le problème de la déformation. Nous 

 avons vu qu'à toute surface (S,) vérifiant cette équation correspond une 

 surface (S,) applicable sur une surface de révolution donnée. La théorie 

 de M. Weingarten nous apprend que de cette même surface (S,) on peut 

 déduire, par des quadratures, une surface admettant un certain élément 

 linéaire. Or, cette surface n'est autre que la surface (So) complémentaire de 

 la surface (S, ). Notre méthode se trouve ainsi rattachée à celle de M. Wein- 

 garten. 



)) Nous terminerons en indiquant quelques applications. 



» On obtiendrait toutes les surfaces à courbure constante, si l'on pou- 

 vait déterminer les surfaces qui satisfont à l'une des relations suivantes : 



(I) C,A,.C,B, = -OC,, 



(II) C,A,.C,B, = -«'^-OC,, 



(III) (^,.0, B,= rt=— ôc;. 



» Ces surfaces définies par l'équation (I) ont déjà été considérées par 



