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Il ne semble guère possible d'obtenir des résultats plus satisfaisants au 

 point de vue théorique. L'auteur n'hésite pas à le reconnaître; mais il fait 

 observer que ces formules donnent lieu à de longs calculs dès que le déter- 

 minant devient un peu considérable, vu le grand nombre des signes de 

 Legendre, dont la détermination devient nécessaire. Il y a donc lieu de 

 chercher à les compléter par l'adjonction de nouvelles formules, moins 

 parfaites à la vérité, mais mieux adaptées au calcul numérique. 



Tel est le but que s'est proposé l'auteur du Mémoire et auquel il est par- 

 venu par des voies très diverses, en faisant intervenir successivement, 

 avec autant de science que d'habileté, les fonctions F, les fonctions ellip- 

 tiques, les fonctions modulaires, la fonction Ex de Legendre, etc. 



Ces procédés si variés conduisent à un grand nombre de formules de 

 l'espèce désirée. Elles ont ce caraclère commun d'exprimer le nombre de 

 classes cherché par des séries convergentes, dont chaque terme est le pro- 

 duit d'un symbole de Legendre par un coefficient qui est tantôt une inté- 

 grale définie, tantôt une combinaison de fonctions élémentaires. Ces 

 expressions contiennent d'ailleurs, pour la plupart, un paramètre arbi- 

 traire dont on peut disposer à volonté pour varier la formule. 



Les termes de ces séries décroissent sensiblement en progression 

 géométrique. Comme elles représentent un nombre entier, il suffira pour 

 le déterminer de calculer un nombre de termes assez limité. Ce nombre 

 pourra même être réduit si l'on connaît d'avance le reste que doit donner 

 le nombre des classes par rapport à un module donné. 



Ces considérations ont conduit l'auteur à déterminer le reste de ce 

 nombre suivant le module 8 lorsque le discriminant est négatif et égal au 

 produit de trois facteurs premiers diflérents (le reste suivant le module 4 

 lorsqu'il n'y a que deux facteurs, avait déjà été déterminé par M. Hurwitz). 



Il a donné également une formule élégante pour calculer le nombre des 

 classes lorsque le discriminant est négatif et décomposable en un produit 

 de deux facteurs premiers entre eux. Quelques exemples numériques en 

 font ressortir l'utilité. 



Nous signalerons enfin une expression curieuse donnant le carré du 

 nombre des classes. 



La Commission conclut que le Mémoire n° 2 est très digne de recevoir 

 le prix proposé par l'Académie. 



M. le Président ouvre en séance le pli cacheté annexé au Mémoire n° 2 

 qui porte la devise : 



Reruni natura iiusquain magis quant in minimis Iota. 



