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PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Sur le théorème d'Hugoniot 

 et quelques théorèmes analogues. Note de M. P. Duheji. 



K Soit S une surface, variable avec le temps t, qui sépare l'espace en 

 deux régions i et 2; U,(a7, v, =, t) est une fonction analytique, définie 

 dans l'espace i; \]i{x,y, z, t) est une fonction analytique, définie dans 

 l'espace i et dans l'espace 2. 



» Nous dirons que S est une onde d'ordre n pour la fonction U, se pro- 

 pageant dans la fonction U, si, sur la surface S, les fonctions U,, Uj sont 

 égales entre elles et s'il en est de même de leurs dérivées partielles homo- 

 logues jusqu'à l'ordre (« — i) inclusivement. 



» Posons, dans l'espace i, V= U,^Uo. Si la surface S est onde 

 d'ordre /2, V et toutes ses dérivées partielles jusqu'à l'ordre (/« — i) inclu- 

 sivement s'annulent sur S. 



» Dans le temps dt, S vient en S'; soient M, M' deux ponts, l'un de S, 

 l'autre de S', situés sur une même normale à S; comptons positivement la 

 distance MM' lorsque M' est du côté 2 par rapport à S. Nous aurons alors 

 MM' = «f/^ Nous allons évaluer a au moyen des dérivées partielles 

 d'ordre n de la fonction V, au point M et à l'instant t. 



» Onde d'ordre r. — Soient 1, 11., v, les cosinus directeurs de la normale 

 en M à la surface S, dirigée vers l'espace 2. Comme sur S, à l'instant r, 

 V a la valeur constante o, on a 



(0 



» D'autre part, V étant nul au point jM, à l'instant /, et au point M', à 

 l'instant {t -i-dt), on a 



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» T.es égalités (i) et (2), jointes à 1- -h jy." -t- v- = i , donnent 



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