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» De ces éçjalités, on tire 



» Onde d'ordre 2. — C'est une onde d'ordre i pour chacune des deux 

 fonctions-^ > -t- ; en appliquant la première égalité (3) à ces deux fonc- 



dx dt 

 tions, on trouve 



dx^ à^- 01 dx ôl ot^ 



d'où la première des égalités 



àx^ dt^ dy- ' dt- az^ 01- 



)) En ajoutant membre à membre ces égalités, on trouve 



(II) a=AV = 



dt'' 



» C'est la formule trouvée par Hugoniot ( ' ). 



» Onde d'ordre 2n. — Désignons par A,iV le résultat de l'opération A 

 appliquée n fois à la fonction V. Je dis que l'on a, pour une onde 

 d'ordre n, 



(I") a^"A„V^y^. 



» Selon la formule (II), le théorème est vrai pour « = i ; il suffit donc 

 de prouver que, s'il est vrai pour une certaine valeur de h, il l'est encore 

 pour la suivante, (n + i). 



» Or une onde d'ordre (aVi + 2) i)our V est d'ordre 2 pour A,; V. On a 



donc, selon (II), 



à'- d^Y 



a- A„^, V = ;^ A„ V =.: A„ -r-^ ■ 



dt^ " ' " dt'- 

 dt'' 



d^ V 

 Cette même onde est d'ordre 2n par rapport à -r-^ • On a donc, selon (III), 



"" " ài- ~ Ot^i"*'' ' 



(') Hugoniot, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4" série, t. III, 

 p. 477; >887. 



