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doivent être solution (Vune équation de la forme 



M-6 



^ 

 dv 



2 



» Considérons maintenant la sphère 1 qui a pour coordonnées 

 ^,, . . ., Ej ; soient M son centre; MS et MT les tangentes au réseau M; S elT 

 les seconds foyers des congriiences décrites par ces tangentes. Les réseaux 

 focaux de G étant orthogonaux, les cercles focaux de 2 seront des cercles O 

 (cercles de Ribeaucour); les droites MS et MT qui sont les axes de ces 

 cercles décriront des congruences cycliques; les réseaux (M) satisfont à la 

 condition demandée. 



» On démontre facilement que tous les réseaux cherchés sont parallèles 

 aux réseaux (M). Donc : 



» Le problème posé revient, au point de vue analytique, à trouver les 

 équations de M. Moutard, qui admettent cinq solutions satisfaisant à l'éga- 

 lité (i) et aux inégalités (3). On voit que le problème est du sixième ordre. 



» Il est facile d'en indiquer des solutions particulières. Si la sphère 1 

 passe par un point fixe A, les cercles focaux de 3 passeront par A, les seg- 

 ments MS et MT seront vus de A suivant des angles droits : ceci prouve que 

 le réseau M est le réseau polaire réciproque d'un réseau de M. Voss, par 

 rapport à une sphère de centre A. Ces réseaux sont d'ailleurs parallèles 

 aux congruences conjuguées aux réseaux de M. Voss. 



» Si l'une des quantités ^ est nulle, la sphère 2 est normale à une sphère 

 fixe A. Les deux cercles focaux de 1 seront normaux à A; on en conclut 

 que les points S et T sont conjugués de M par rapport à A. Cette solution 

 particulière revient à la recherche des congruences G dans l'espace à 

 quatre dimensions. 



» Remarque. — Les sphères 1 sont des sjjhères plusieurs fois cycliques; 

 toutes les transformations indiquées dans ma Note Sur les systèmes plusieurs 

 fois cycliques (^Comptes rendus, i" semestre 1900) s'appliquent au problème 

 actuel. Mais il en existe de nouvelles que je vais indiquer. 



» Soient F et o les réseaux focaux de la conçruence G; u. un réseau 

 harmonique à G; [j.F et picp sont les tangentes du réseau p.; ])uisque F est O 

 on peut de ce' manières prendre pour Fpi une congruence I; (/.cp sera 

 alors 31. 



