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» En substituant des demi-périodes, il s'ensuit soixante-trois autres sys- 

 tèmes orthogonaux. 



» M. Caspary a démontré la possibilité de former des combinaisons de 

 produits de fonctions thêta formant un système orthogonal de seize coeffi- 

 cients (Voir Comptes rendus, 17 février iSS'y). Les théorèmes démontrés 

 plus haut prouvent la possibilité de former des systèmes orthogonaux de 

 soixante-quatre coefficients dont les éléments sont eux-mêmes des pro- 

 duits de fonctions thêta et donnent tous les systèmes possibles. » 



PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Le théorcm? du tourbillon en Thermodyna- 

 mique. Note de M. Jougnet, présentée par M. Jordan. 



c( Le théorème fondamental de la théorie des tourbillons se démontre, 

 pour les fluides sans viscosité, en faisant les hypothèses suivantes : 



» a. Les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui agissent sur le 

 fluide admettent un potentiel. 



» b. La pression en un point est uniquement fonction de la densité en 

 ce point. 



» Pour les fluides dont les divers éléments sont seulement soumis à des 

 forces extérieures et dont l'étnt en chaque point est défini par la densité p 

 et la température T, ces restrictions sont équivalentes aux suivantes : 



» a'. Les ac/jon5 ea;/eWe«rej admettent un potentiel. (Le mot ac^jo/j est 

 pris dans le sens que lui a donné M. Duhem.) 



» b' . L'entropie de chaque élément est uniquement fonction de sa tem- 

 pérature. 



» Au contraire, lorsqu'on étudie, par la Thermodynamique, le mouve- 

 ment des fluides en tenant compte des actions mutuelles de leurs parties, 

 on en rencontre pour lesquels les forces intérieures n'admettent pas de 

 potentiel, et pour lesquels la forme de l'équation de compressibilité écarte 

 la possibilité de l'hypothèse b. Mais les énoncés a cl b' ne cessent pas 

 d'avoir un sens, et l'on peut démontrer qu'ils donnent encore la condition 

 suffisante pour que le théorème des tourbillons soit vrai en l'absence de 

 toute viscosité. 



» C'est ce qu'on trouve, par exemple, pour un fluide dont l'état en 

 chaque point est fixé par les variables p, T et par un nombre quelconque 



