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points SIMPLES donnés, qui la déterminent complètement. C'est ce problème 

 général dont je vais donner ici la solution, après être convenu de quelques 

 notations abréviatives. 

 » Je désignerai par : 



B„ l'ensemble des points simples nécessaires et suffisants pour déterminer 

 la base d'un faisceau de surfaces d'ordre m, ou, ce qui revient au même, 

 qui déterminent la courbe gauche, d'ordre m-, commune à toutes les 

 surfaces du faisceau. On a donc 



B,„=^(w-M)(m + 2)(OT + 3) - 2 ('); 



T,„ l'ensemble des points simples donnés qui devront entrer dans les deux 

 bases; 



X l'ensemble des points simples inconnus qui y seront admis, pour les com- 

 pléter. 



)) Il est, en effet, nécessaire d'avoir recours (comme je l'avais fait pour 

 les courbes) à des points inconnus; en d'autres termes, il n'est permis 

 d'admettre dans les bases des faisceaux générateurs qu'un certain nombre 

 des points donnés (qu'on peut d'ailleurs choisir arbitrairement parmi eux 

 et répartir à volonté entre les deux bases), et il faut y introduire d'autres 

 points, appartenant comme ceux-là à la surface S,„, mais encore inconnus, 

 que les autres données de la question serviront à déterminer, en ayant égard 

 à ce qu'ici, dans l'espace, chacun d'eux exige pour sa détermination l'em- 

 ploi de trois points donnés. Quant à la correspondance projective des deux 

 faisceaux, elle en réclame trois, comme pour les courbes planes, ce qui 

 porte à 3X 4- 3 le nombre des points donnés qui, après que les bases ont 



(') Ce nombre B„, peut être exceptionnellement accru si, parmi Jes données de la 

 surface Sp qu'on veut engendrer par deux faisceaux dont l'un soit d'ordre m, il se 

 trouve une ligne, droite ou courbe, qu'on sache lui appartenir et qu'on veuille faire 

 servir de base à ce faisceau (/«). Le nota (i) qui précède offre un double exemple de 

 cette circonstance. 



La base d'un faisceau de surfaces de degré m est une courbe gauche de degré /«», 



... • . ( '« -H I ) ( /" H- 2 ) ( /« + 3 ) 



aeterminee par 2 points, qui sont, par conséquent, ie«/i 



nécessaires '^Qwi- sa détermination, les autres points de la courbe gauche étant dépen- 

 dants de ceux-là. 



