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été constituées, doivent rester disponibles pour obtenir simultanément ces 

 deux déterminations ('). 



» II. Cela posé, il y a deux cas à considérer, selon que : 



)) 1° m est multiple de [\, augmenté de i , 2 ou 3; 



1) 2° m est multiple de 4- 



w La génération des surfaces de ces deux catégories est régie respecti- 

 vement par les deux théorèmes suivants : 



11 Théorème I. — Toute surface a!gébrit/ue S„,, de degré m (ni^i , 2 ou 3, 

 mod. 4). dctenninée par D,„ points simples donnes, peut être engendrée par 

 deux faisceaux projectifs S„, S,/ de degrés n, n' , dont la somme n -h n' soit 

 égale à m, mais sous les restrictions suivantes : qu'ils ne soient, ni l'un ni 

 l'autre, multiples de 4, ni de même forme que m par rapport à 4, et sous la 

 réserve que le plus grand n de ces nombres satisfasse à une condition qui 

 sera indiquée ci-après. 



» Sous ces conditions, on composera les hases des deux faisceaux en y in- 

 troduisant : 



» 1° B„ -+- b'„ — X points pris arbitrairement parmi les points donnés: 

 » 2" X points inconnus, dont le nombre total est donné par la formule 



^^ D,„-(B„-KlJ„. + 3) 

 ■À 



» Démonstration. — On a 



D,„=^(m* + Gw-+- II); 



puis, à cause de «'= m — n, 



B,j= ^(/i- 4- G« -f 1 1) — I 

 et 



(') Voir au sujet de la détermination dos points X mon Essai sur la génération 

 des courbes géométriques, page i3. Le même principe et la même démonstration s'ap- 

 pliquent ici avec toutes leurs conséquences. 



