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» On en déduit successivement 



B„ -h B„ = D,„ - { [mn(m - /j h- /,) - 4n' + 4), 



. . m/i( m — « -I- /( ) — 4 «- — 2 , , . 

 (A) A= ^ ( ), 



(C) T„,= B„-+-B„.— X = D„- {[3mn(m - n + \) - r2n'+ 6]. 



» Cette dernière formule montre que la solution n'est possible que si 

 D„,^\[Zmn{m - n + 4;— i2«= + 6]. 



Donc, si n est le plus grand des deux nombres n et m — n, il faut qu'on 

 ait 



3w + 1 / vr — i6/?( — "24 -I- 



(E) /i> -^ g , 



condition que la formule n'impose d'ailleurs que pour m = i8, car toute 

 valeur de n convient pour la solution lorsque m<^\%. 



1) La formule (E) exprime la troisième restriction mentionnée à la fin 

 de l'énoncé du théorème I, mais qui ne pouvait y être formulée sans expli- 

 cations préalables. Il n'existe pas de limitation de cette nature dans la gé- 

 nération des courbes planes, parce qu'on y a toujours 



B„ -K B„,_„ > n{m - n)~i. 



Ainsi, tandis qu'une courbe d'ordre m peut toujours être engendrée par 

 deux faisceaux projectifs dont la somme des degrés soit égale à jn, sans 

 aucune exception, une surface S „, déterminée [)ni' des points simples, /;p;<^ 

 l'être aussi toujours, mais seulement par les valeurs de n eln' soumises aux 

 restrictions et limitations précédentes, dont en particulier la dernière ex- 

 prime une propriété aussi curieuse qu'imprévue. 



» Des relations qui précèdent il s'ensuit que, les bases des faisceaux 



(') CeUe formule Correspond, dans la Uiéorie des surfaces, à celle que j'ai donnée 

 dans la théorie des courbes planes, savoir : 



X = rin' — I , 

 qu'on peut écriie 



X r= mn — «' — I , 



si, comme on le syppose i<i, n'-.= m — ii. 



