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avant été constituées comme il vient crètre evpliqné, le nombre T;„ des 

 points donnés qui restent encore disponibles est égal à 



T,„ = \ [3mn{m — n ~i- ^i ) — l'in- -h G\ 



3-f-3X. 



et les conditions requises sont satisfaites. Toutefois il reste à montrer que, 

 grâce aux conditions imposées aux nombres n et n', la formule (A) donne 

 pour X un nombre entier. En effet, on voit, à la seule inspection de cette 

 formule, que ni m, ni n, ni n', ne peuvent être multiples de 4, pour que X 

 soit entier. Pareillement, ni n, ni n' ne peuvent avoir la même /orme que m 

 par rapport au nombre 4 ; car, si l'un d'eux était dans ce cas, l'autre 

 (m — n) serait multiple de 4. ce qu'on vient de voir être impossible. 

 D'ailleurs n et n' peuvent avoir tous deux la même forme par rapport à 4. 

 M Par exemple, une surface du trentième degré ne peut, à cause des 

 diverses conditions qui viennent d'être exprimées, être engendrée que par 

 l'un ou l'autre des systèmes de faisceaux (19, 1 1), (21, 9), (23, 7), (aS, 5), 

 (27, 3), (29, i), à l'exclusion de (i5, i5) et(i7, i3), parce que i5 et 17 

 sont moindres que la limite inférieure de n donnée par la formule (E) (qui 

 est ici 18, 4). et îi l'exclusion de tous les autres systèmes, dans lesquels 

 l'un des deux nombres n, m — n, est un multiple de 4, 'els que (20, 10), 

 (22, 8), (24,6), ...('). 



(') Pour donner une application, supposons qu'on prenne le système (ig, 1 1), c'est- 

 à-dire n =^ 19, «':= 1 1 . On a 



D3o=5455; 



j'appellerai (a) les points simples empruntés à ces 5455 points donnés pour être in- 

 troduits dans les bases. 



B„=:2022, B,,= 2i8, B-H-B' = 224o, X = ^o-9-a5-4-9'- 2 ^ .g^g 



B -f- B' étant > X, le système (19, 1 1) peut donc être employé, et l'on a 



_J B,i= [4i6(a) -I- i6o6(a')] = 2022 ) 

 ^'"^ I B, =[2i8(a') = 218 1' 



puis 



5455 — (4i6 + 218) = 4821 =3-1- 3, 1606, 



et toutes les conditions exigées se trouvent satisfaites. 



