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)) La génération des surfaces de la seconde catégorie est régie par cet 

 autre théorème : 



» III. Théorème II. — Toute surface algébrique S,„, de degré m (m mul- 

 tiple de 4). déterminée par D^ points simples donnés, peut être engendrée par 

 deux faisceaux projectifs, de degrés n, n' , dont la somme n -i- lî soit ( pour se 

 borner aux moindres nombres possibles) égale à m -h i, et d'ailleurs sous 

 les résen'es ci-dessus, quant aux râleurs et aux formes de n et de n'. 



)) En conséquence, on adjoindra à la surface cherchée S,„ un plan arbi- 

 traire; en d'autres termes, on se proposera d'engendrer une surface 

 S,n+, = (S,„-l- S,), dont ce plan forme, à lui seul, une nappe isolée, et qui 

 satisfera à la condition de passer par les D,„ points donnés en même temps 

 que par un nombre de points du plan suffisants et tellement choisis que 

 la décomposition préméditée de S„,+., en deux aiitres surfaces S^ et S, soit 

 assurée d'avance. Pour obtenir ce résultat, il faut que le plan adjoint ait 

 en commun avec S,„^^, un point de plus qu'il n'est nécessaire pour déter- 

 miner une courbe plane de degré m -h i, et que ce point en excédent soit 

 pris /lors de la courbe. Le nombre des points auxiliaires à prendre arbitrai- 

 rement dans le plan est donc^(w -f- i){m 4- 4) + i. avec la condition que 

 l'un d'eux ne soit pas situé sur la courbe plane C;;,^, que les autres déter- 

 minent. 



» Le degré de la surface à engendrer, étant de la sorte devenu égal à 

 m -t- I, n'est plus un multiple de 4, et le problème est ramené au précé- 

 dent, car le nombre total des points donnés, savoir 



Dm + j("' + i)(m-h 4) + I. 



est précisément égal à D„,+,, comme on s'en assure par un calcul facile. 

 Les autres restrictions du théorème I subsistent d'ailleurs, quant au choix 

 des systèmes (n,n') dont l'emploi est permis, n -\- n' étant, dans ce cas, 

 égal à OT + I . 



» Par exemple, il est impossible d'engendrer une surface du huitième 

 ordre à l'aide de deux faisceaux projectifs de degrés n, n' dont la somme 

 « -I- n'= 8. Mais, en adjoignant aux i64 points donnés pour la détermina- 

 tion de Sj 55 points pris à volonté dans un plan quelconque, on obtient 

 en totalité 219 points qui déterminent une surface du neuvième ordre, et 

 celle-ci se décomposera en un plan et en la surface du huitième ordre de- 

 mandée, si l'un quelconque des 55 points auxiliaires est pris en dehors de 



