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 j'ai montré que l'on peut ramener cette équation à la forme 



(3) £^=a.'+Pv^= + Yr + ^, 

 puis à la forme réduite 



(4) -^=.v» + J, 



où J est un bwariant absolu. 



» Les équations telles que (3) ont fait l'objet d'une Note que M. R. 

 Liouville a présentée à l'Académie le 6 septembre i886 et qui avait 

 échappé à mon attention. Dans cette Note, M. R. Liouville indique 

 des cas d'intégrabilité de l'équation (3); sa méthode est fondée sur la 

 considération de certaines fonctions des coefficients de l'équation et de 

 leurs dérivées qui sont des invariants relatifs pour le changement de va- 

 riable indépendante et le changement de fonction v = ç», ç(a?). Celui de ces 

 invariants relatifs qui est désigné dans cette Note par la lettre L n'est autre 

 chose que le numérateur de notre invariant absolu J, de sorte que les deux 

 fonctions I^ et J s'annulent en même temps. 



» Il y a, entre le point de vue auquel s'est placé M. R. Liouville et le 

 m'itre, cette différence que l'invariant absolu que nous appelons J est un 

 invariant, non sevilement de l'équation (3), mais aussi de l'équation homo- 

 gène (i) que nous ramenons à la forme (3). Les coefficients oc, (;i, y, S de 

 cette équation (3) sont des fonctions des coefficients B, C, D, E, F de l'é- 

 quation (i) et de leurs dérivées ; l'invariant J est une fonction de ces coef- 

 ficients B, C, D, E, F et de leurs dérivées, qui ne change pas lorsqu'on 

 fait, dans l'équation (i), un changement de fonction ou de variable. 11 est 

 encore à remarquer que les invariants relatifs de l'équation (3) considérés 

 par M. R. Liouville et l'invariant absolu J possèdent la propriété de l'in- 

 variance, non seulement pour un changement de fonction de la forme 

 f = ç',<p(ic), mais pour le changement plus général 



(5) i' = v,'f(œ)-\-^{x). 



» D'après cela, on voit sans peine que les cas d'intégrabilité indiqués 

 par M. R. Liouville sont ceux dans lesquels l'équation (3) peut être trans- 

 formée en une autre de même forme à coefficient& constants. En effet, dans 

 les cas en question, ou bien J est constant, et alors l'équation réduite (4) 



