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est à coefficients constants, on bien T est de la forme X'ç -, et alors la sub- 



_i 

 stitiition H-' = ^ '"^'i. ^1 =logç transforme l'équation réduite (^\) en une 



autre h coefficients constants. Ainsi l'équation dénotée (iG) |3ar M. R. 



Liouville se ramène à la forme 



si l'on y fait 



2,P"-^.VJ>"=2C, n^= -pu. 



» II. L'équation homogène du second ordre et du degré n >> 2, de la 

 forme spéciale 



(6) y"''!" = «ov'" -4- «, y'" y + ... + «„ y", 



se ramène immédiatement par la substitution j' = cj à l'équation 



(7) £. =a„('" + a,('"-' + ... + («„_„ - i)(- + a„_,(' + rt„. 



» En faisant un changement de fonction de la forme (5), déterminant 

 convenablement o(a?) et <j/(.r), et choisissant une nouvelle variable indé- 

 pendante i, on ramènera cette équation (-j) à la forme réduite 



(8) ^' = n'" + .T,.f"-- -h 3,a'"-' -h ... -h .T„_j(ï- + J„, 



caractérisée par ce fait que le coefficient de iv" est égal à l'unité et les 



coefficients de w"'^ et «• égaux à zéro. Les quantités ,]., .I3 ]„_.,, J„ 



sont des invariants absolus de l'équation (7) tant pour le changement de 

 variable que pour le changement de fonction de la forme (5). 



)) Si ces invariants sont des constantes, l'intégration est immédiate : 

 s'ils sont de la forme 



2 s n 



.r^ = /i„i , .1., — A.,- , ..., .1,1 — a;„c; , 



l'équation peut être ramenée à une équation à coefficients constants par 



^ 



la substitution iv = (t-,ç' '", ç, = loge. Dans ces deux cas, l'équation Iionio- 

 gène (G) est réductible à une équation de même forme à coefficients con- 

 stants admettant des intégrales particulières de la forme e"'. 



C. R., 1887, ■• Semestre. (T. CV, N» I.) ^ 



