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 » On peut appliquer une mélhocle analogue aux équations homogènes 

 du type 



V'"-"-' *„(.)% Y')y" = i-^Cr, /), 



4>„ et W,„ désignant des fonctions homogènes de y et y' de degrés entiers 

 positifs n et 7?j, avec n<C_ m — i . » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires. 

 Note de M. Paul Paixlevê, présentée par M. Darboux. 



« Comme je l'ai montré dans une Communication précédente (voiries, 

 Comptes rendus du 27 juin), on peut ramener une équation différentielle 

 linéaire et homogène du troisième ordre à la forme 



(i) y"+ iv'-;-cv = o, 



et si l'intégrale d'une telle équation (où b el c sont rationnels) est algé- 

 brique et correspond à un des groupes finis (a) à deux variables, analo- 

 gues aux groupes du dièdre, une intégrale r, est nécessairement de la 



forme 



'"'r~? — \ 

 .r, -= vs"(^')' 



où g(x) vérifie une relation /(^, .r) = o, du troisième degré en g. Il s'en- 

 suit que le produit des trois valeurs linéairement distinctes de r,, Vo, j^ 

 est de la forme 







» Les zéros Xy de N(a7) sont nécessairement des points singuliers de 

 l'équation (i); on connaît une limite supérieure de la somme 2vy, en même 

 temps qu'une limite supérieure de la différence Djx,- — liv^; on en conclut 

 que le nombre des zéros x^ de M(a;), pour lesquels [j.i est entier, ne peut 

 dépasser une certaine valeur /«, et, en ajoutant à ?n le nombre des points 

 singuliers de (i), on obtient une limite supérieure M du nombre des points 

 pour lesquels l'intégrale y, est infinie ou nulle. 



» Ceci posé, soit — =r, ; r, satisfait à une équation diflerentielle du se- 



coad ordre, dont une intégrale r, doit vérifier une relation J,('''i\' ^) — o- 

 du troisième degré en r,,; d'autre part, les pôles de r,, sont tous du pre- 



