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 mier ordre et leur nombre ne peut dépasser M. On déduit de là une limite 

 du degré en x dey,, et l'on peut reconnaître, par un nombre fini d'opéra- 

 tions, si l'équation en -o admet effectivement une telle intégrale. Quand 

 cette condition est satisfaite, on a 



.7. 



Ce- 



la relation /\{r,^, a- ) = o peut se décomposer parfois en relations du seconti 

 et du premier degré en r,. Mais, dans tous les cas, à chaque valeur de x, 

 correspondent trois valeurs de >',, Vo, y^, linéairement distinctes, et l'in- 

 tégrale générale de (i) peut s'écrire 



y --= 'j. 



iy. 



l^. 



'fV-x 



» Nous arrivons bien ainsi à la conclusion énoncée : On peut toujours 

 vérifier si l'iidègralc de l'équation (i ) est algébrique, ou ramener l'équation à 

 une quadrature. 



» T^a méthode employée s'applique à une cqualiou linéaire A d'ordre 

 quelconque; pour simplifier l'ccritLire, admettons qu'elle soit du quatrième 



ordre 



A) 



y -\- a.,^y"' + a., v" -t- a^y' -\- a^y - 



1) Pour une telle équation, il existe trois invariants du cinquième ordre, 

 où figurent les rapports t, u, v de quatre intégrales distinctes. 

 » Si l'on pose 



D,r= 



D,= 



et si l'on appelle D,, D,,, .. , Dj, ... les expressions obtenues en permu- 

 tant l, u, V dans les précédentes, lei trois invariants î,, L, I3 sont donnés 



