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et, déplus, le premier membre de l'égalité (3) s'annulant quand on y rem- 

 place z par l'une quelconque des solutions m,, il devra en être de même du 

 second, qui sera, par conséquent, proportionnel à Z. 

 » On aura donc 



^ ' dx ùy ax oy 



et la fonction Z satisfera à une équation de même forme que l'équation ( i ). 

 Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 



» Etant donnée une équation linéaire aux dérivées partielles à deux va- 

 riables indépendantes, on forme la fonction Z définie par la formule (4), au 

 moyen delà solution générale z et de m -\- n solutions particulières quelconques 

 M,, ..., «,„4.„ de r équation proposée . Cette fonction Z satisfera, elle aussi, à une 

 équation linéaire du second ordre dont elle sera l'intégrale générale. 



» Le cas le plus simple de ce théorème, celui où l'on prend pour Z la 

 fonction 



\ Or <)x 



vient d'être donné par M. Lucien Lévy, dans un Mémoire inséré au LVP 

 Cahier du Journal de r Ecole Polytechnique. 



)) Dans une autre Communication, j'indiquerai comment on peut géné- 

 raliser et compléter la proposition précédente, que je connais depuis 

 longtemps, et comment on y est naturellement conduit par des considéra- 

 tions géométriques. Pour le moment, je me bornerai à remarquer qu'elle 

 permet de déduire de chaque équation linéaire du second ordre, dont 

 on possède l'intégrale générale, une infinité d'autres équations de même 

 forme, contenant autant de fonctions arbitraires qu'on le voudra, et dont 

 l'intégrale générale s'obtiendra sans difficulté. En particulier, si l'on prend 

 comme point de départ l'équation 



à' s 



o. 



(Jx dy 



on retrouvera tous les résultats que M, L. Lévy a bien voulu rappeler au 

 commencement du travail déjà cité. » 



C. R., 1887, 2' Semestre. (T. CV, N» 4.) 



