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veloppements algébriques dont nous nous occuperons plus tard. Dans cette 

 Note, j'ai surtout pour objet de faire connaître les résultats que j'ai obtenus 

 sur les systèmes simples de coniques. 



)> Chaque fois qu'une surface admet deux systèmes simples de généra- 

 trices du second degré, cette surface est un cas particulier ou un cas 

 limite d'une surface remarquable du huitième ordre, dont les coordonnées 

 ponctuelles x^, x.,, x^, x^ sont proportionnelles à quatre polynômes de la 

 forme suivante, où X, u sont deux paramètres, 



fi{\, [J.) = (aX- + b^X + (>,)[7.- -+- {àX 4- h'.\ 4- c])iJ. + d-\- 4- V\ + c.; 



cette surface est représentable sur le plan, sa ligne double est du vingtième 

 degré, etc. 



» Cette surface remarquable comprend une foule de surfaces bien cé- 

 lèbres en Géométrie : les quadriques, la surface de Steiner, les surfaces 

 cubiques, les surfaces du quatrième degré à conique double, une surface 

 remarquable du cinquième ordre étudiée par M. Darbovix au Tome II de 

 son Bulletin, etc. 



» Mais il y a plus, cette surface du huitième ordre possède une défini- 

 tion géométrique très remarquable qui montre qu'elle offre à d'autres 

 points de vue une généralisation naturelle des surfaces du quatrième ordre 

 à conique double. 



» Soient, en effet, deux espaces e et E, dont les coordonnées ponctuelles 

 s'appelleront respectivement .r, etX,. Considérons une transformation qua- 

 dratique générale de e dans E, définie par les formules 



/"yX -^1 ■ ^i ^3 ^l 



CS,(x,,.r2, a-3, Xi) Ç.2(X,,...) !f3(j-,,...) cpt(Xi,...) 



OÙ les (p, sont des formes quadratiques quelconques de x^, x^, x^, x^. Eh 

 bien, la transformée d'une quadrique quelconque de l'espace e est préci- 

 sément notre surface du huitième ordre. L'ordre s'abaisse si les quadriques 

 <p,= o vérifient certaines conditions, comme d'avoir des points communs. 

 Comme la transformation (T) devient, dans certains cas, l'im^olution qua- 

 drique, c'est-à-dire l'inversion projective, et que la transformée d'une 

 quadrique est alors une surface du quatrième ordre à conique double, on 

 voit de nouveau que ces surfaces du quatrième ordre doivent être com- 

 prises dans notre surface du huitième ordre. 



