( /)36 ) 



CALCUL DES PROBABILITÉS. — Solution directe du problème 

 résolu par M. Bertrand. Note de M. Dksiré Asdrè. 



« Ou suppose que deux candidats A et B soient soumis à un scrutin de 

 ballottage. Le nombre des votants est x +■ p. A obtient a suffrages et est 

 élu, B en obtient p. On demande la probabilité pour que, pendant le dé- 

 pouillement du scrutin, le nombre des voix de A ne cesse pas une seule 

 fois de surpasser celles de son concurrent. 



» Le nombre des événements possibles est évidemment celui des permu- 

 tations que l'on peut former avec a lettres A et p lettres B. 



» Appelons Q^ p le nombre des événements défavorables. Les permuta- 

 tions qui leur correspondent sont de deux sortes : celles qui commencent 

 par B, celles qui commencent par A. 



» Les permutations défavorables commençant par B sont en nombre 

 égal au nombre des permutations que l'on peut former avec a, lettres A et 

 ^ — I lettres B, car il suffit évidemment d'y supprimer la lettre initiale B 

 pour obtenir ces dernières. 



» Les permutations défavorables commençant par A sont en même 

 nombre c[ue les précédentes, car on peut, par luie règle simple, les asso- 

 cier, chacune à chacune, aux permutations formées avec «. lettres A et 

 [i — I lettres B. 



» Cette règle se compose de deux parties : 



» i" Étant donnée une permutation défaA orable commençant par A, on 

 y supprime la première lettre B qui enfreint la loi du problème, puis on 

 échange entre eux les deux groupes séparés par cette lettre : on obtient ainsi 

 une permutation, parfaitement déterminée, de a lettres A et p — i lettres B. 

 Soit, par exemple, la permutation défavorable AABBABAA, de cinq lettres 

 A et de trois lettres B; en supprimant le premier B qui enfreint la loi, on 

 sépare les deux groupes AAB, ABAA; en échangeant ces groupes entre 

 eux, on obtient la permutation ABAAAAB, formée de cinq lettres A et deux 

 lettres B. 



» 2° Étant donnée une permutation quelconque de a lettres A et p — i 

 lettres B, on la parcourt, de droite à gauche, jusqu'à ce qu'on obtienne un 

 groupe où le nombre des A dépasse d'une unité celui des B; on considère 

 ce groupe et celui que forment les lettres placées à sa gauche; on inter- 

 vertit ces deux groupes, en plaçant entre eux une lettre B : on forme ainsi 



