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 » Le problème est celui-ci : 



» Un joueur expose à un Jeu de hasard la n^^""' panie de sa fortune et renou- 

 velle l'épreuve indéfiniment. Quelle est la probabilité pour qu'il se ruine et que 

 la 2.i>. ■+- n'^'"'' partie jouée lui enlève son dernier écu. 



» Il faut évidemment que le nombre des parties perdues soit [i. + n, et 

 celui des parties gagnées égal à jj. seulement, mais cela ne suffit pas. Il faut 

 encore que, dans la série des '2.[j.-\-n parties, on n'ait pas rencontré une 

 seule fois l'excès égal à n que nous avons supposé à la fin ; on doit, dans le 

 compte du nombre de combinaisons qui sert de numérateur à la probabilité, 

 retrancher toutes celles qui présentent ce caractère et qui, par conséquent, 

 si l'on compte à partir de la fin, en appelant les pertes et les gains dans 

 l'ordre où ils se présentent, donnent au moins une fois l'égalité entre 

 les deux nombres. Le nombre des combinaisons qu'il faut retrancher est, 

 en vertu du théorème qui nous occupe, une fraction du nombre total 



éa;ale à 



» La probabilité de la ruine au 2 \j. -\- ««""« coup, et pas avant, est donc 



n r(2jj.+ rt4-i) /iy[i+« 



2|ji-t-/j r(|ji + /n- 1) r(|x -m) 



H- 



Si [j. est un nombre assez grand pour que e ^ puisse être confondu avec 

 l'unité, on peut remplacer cette expression par la valeur approchée 



( 2 |J. ^ /t) \ / - ( 2 i-n H- '0 



La probabilité, pour que la ruine soit accomplie avant 2.[j.-\-n coups, a pour 

 valeur approchée 



(i) ï — ni/- , ' - =1 — 0,-7074/ — - — , 



elle tend vers la certitude, mais lentement. 



» Si un joueur possède cinquante louis et en expose un à chaque coup, 

 il peut jouer 230 000 parties avant d'avoir une probabilité égale à 0,92 de 

 se voir ruiné. 



» Tout est pour le mieux. Si la probabilité calculée croissait trop rapi- 



