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pour quelle soit réductible à la forme 



('6) iË',^y'''^''''^y'^°^ 



k étant une constante quelconque : la réduction ayant lieu, intégrer. 



» On construira les invariants absolus tp' ,, = *,, .:y:^^, (T'i^ = 5j.î. .y^'. Cal- 

 culés au moyen de l'équation (6), ils auraient pour expressions 



(V, =10 \ ^ -i Li , . 



/ \ L (a/r-xj-i)' J 



^^^ ] _ 45A'^x;(5 — 6A-^^;)(2 — 2iA-^^;' — i8A-»^») 



en conséquence, afin que l'équation (r) appartienne à la catégorie indi- 

 quée, il faut que les relations (7), l'une du troisième degré en ^■^, l'autre 

 ■ du quatrième degré, aient une solution commune; leur résultant, égalé à 

 zéro, est la condition à vérifier. Lorsqu'elle a lieu, les relations (7) font 

 connaître la variable x, qui permet de ramener à la forme (6) l'équation 

 proposée. Les fonctions 9 et 0' et, par suite, les substitutions (2) et (4), 

 s'obtiennent ensuite sans nulle difficulté, le coefficient de j' devant être 

 égal à I dans la transformée (6) et celui de j à zéro ('). Quant à l'équa- 

 tion (6) elle-même, en y posant y = Y' et prenant œ, pour l'inconnue, 

 Y pour la variable indépendante, elle devient 



(y) a;'\ — 3/cx,a;\ — 1 = 0, 



d'où l'on déduit, avec une constante arbitraire h, 



(9) _ 2x\ — 3kx'-,^2Y-hh, 



et, par la transformation a:, = ^^, l'équation linéaire 



4X"+3^(2Y + A)X = o, 



une de celles dont l'intégrale a été donnée par Jacobi et par M. Kummer. 

 » J'ajouterai que, parmi toutes les équations de forme (r), les précé- 

 dentes seules peuvent être ramenées à la dérivée exacte d'une équation de 



(') Ces déterminations eflectuées, la relation, d'après laquelle a,, est nul dans la 

 transformée, exprime sans ambiguïté l'existence do l'équation réduite cherchée. 



