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1) Pour une surface du second degré quelconque, les tangentes de 

 toute ligne géodésique coupent chaque surface confocale suivant deux 

 courbes distinctes. Cette décomposition est une conséquence très facile 

 d'un théorème de Chasles, consistant en ce. que ces tangentes touchent 

 une surface confocale, pour laquelle, on le voit, les deux courbes dis- 

 tinctes viennent se réunir. 



» Si la surface est de révolution, la proposition se complète comme il 

 suit : les deux courbes, qui forment ensemble l'intersection complète, 

 sont égales entre elles ; elles diffèrent de position seulement : l'une peut 

 être ramenée sur l'autre par une rotation autour de l'axe de révolution. 



» Chaque point de l'une de ces courbes a, de la sorte, son homologue 

 sur l'autre. Plus exactement, il a une infinité d'homologues, attendu que 

 chaque courbe se compose elle-même d'une infinité de branches égales 

 entre elles, et dont chacune s'obtient en faisant tourner une seule d'entre 

 elles, autour de l'axe, d'angles en progression arithmétique. C'est, au 

 reste, ce qui a lieu pour la ligne géodésique elle-même. 



1) Voici maintenant quel est le théorème : Sur les deux courbes d' intersec- 

 tion d'une surface confocale on prend deux points homologues y et y'. En 

 chacun d'eux passe une tangente de la géodésique ; soient x et x' les points de 

 contact. Soient s et s' les arcs de la géodésique aboutissant en x et x' et comptés 

 à partir de deux points fixes a'^ et x\, positions particulières des points x et 

 x'. Soit m le nombre des points à l'infini qui séparent x et x'. La différence s' — s 

 des deux arcs et la somme xy ± {— \^"^x'y diffèrent par une longueur con- 

 stante. On doit prendre le signe plus quand la surface confocale ne rencontre 

 pas la géodésique, le signe moins dans le cas opposé. 



» Quand la géodésique n'a pas de branche infinie, ce qui a lieu seule- 

 ment sur les ellipsoïdes, ou quand les deux points x et x' ne sont séparés 

 par aucun point à l'infini, on peut dire plus simplement : l'arc xx' et la 

 somme xy -'- x'y' différent par une longueur constante, si la surface confocale 

 ne rencontre pas la géodésique. Si, au contraire, il y a rencontre, la différence 

 xy — x'y' est égale à la différence des arcs y^x et y'^oi', comptés à partir de 

 deux points homologues y„ ^^y» » situés sur la géodésique. 



» C'est en supposant la ligne géodésique réduite à un méridien que 

 l'on voit la proposition précédente se confondre avec les théorèmes clas- 

 siques concernant les arcs d'ellipse ou d'hyperbole. Eu ce cas, les deux 

 courbes d'intersection, dont il était tout à l'heure question, se réduisent à 

 une seule conique confocale à la première, et les points homologues 

 viennent coïncider entre eux. » 



