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MEMOIRES PRESENTES. 



GÉOMÉTRIE. — Propriétés descriptives se gmenlaires ou métriques de la circon- 

 férencp de mode quelconque. Mémoire de M. Mouciiot. (Extrait par 

 l'a H leur.) 



(Commissaires : MM. C. Jordan, Darbous, Halphen.) 



« Si le système de coordonnées rectiligncs a pour but de ramener la 

 forme au nombre, par l'intermédiaire de la situation, il faut se garder de 

 prendre cette définition dans un sens trop restreint. 



« On sait, en effet, que l'équation d'une courbe plane résulte indiffé- 

 remment des propriétés descriptives de cette courbe ou de ses propriétés 

 segmentaires; que, dans les deux cas, cette équation Aarie avec le choix 

 des axes et que ce choix influe même sur la nature de la courbe, lorsque 

 celle-ci n'est définie que par ses propriétés segmentaires. 



» Mais, ce qu'il importe aussi de reconnaître, c'est que, rapportées à 

 un même svstème d'axes, certaines courbes de formes différentes ne sont 

 pas plus tôt de modes contraires entre elles qu'elles manifestent innnédia- 

 tement des propriétés segmentaires identiques ; d'où la possibilité de con- 

 stituer, avec ces courbes, des lieux géométriques vraiment généraux, et 

 d'exprimer chacun d'eux, malgré la diversité de ses branches, par une 

 seule et même équation. 



» C'est ainsi que, par rapport à deux axes rectangulaires convenable- 

 ment choisis, la circonférence peut se définir le lieu des points dont l'or- 

 donnée est moyenne symétrique entre deux segments droits dont la diffé- 

 rence est constante, cette différence ayant pour moitié le rayon et pour 

 milieu le centre de la courbe. Définie de cette façon, la circonférence se 

 compose d'une branche circulaire et de conjuguées hyperboliques en 

 nombre infini. Le mode de génération de ces diverses branches varie avec 

 la nature du rayon, qui peut être réel, imaginaire ou mixte. Le centre lui- 

 même est tantôt réel, tantôt imaginaire. Si l'on désigne par R le rayon et 

 par a, b les coordonnées rectangulaires du centre, l'équation de la cir- 

 conférence est constamment de la forme (^— o)"+ (jK ~ i)'=R'. Il 

 suffit, pour l'obtenir dans tous les cas possibles, tle s'appuyer sur la consi- 

 dération des sécantes antiparallcles. 



» J'appelle distance de deux points quelconques le ra\on de la circoii- 



