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» Soit [F] = o l'équation irréductible d'un système linéaire quelconque 

 de surfaces algébriques d'ordre «, complètement déterminé par sa base, 

 c'est-à-dire par des courbes et points singuliers quelconques, communs à 

 toutes les surfaces du système. Je considérerai alors quatre noml)res qui 

 ont le caractère d'invariance pouj- toute transformation bii'ationnelle de 

 l'espace, à savoir : 



Pa Ia multiplicité du système, c'est-à-dire le nombre des paramètres arbi- 

 traires dont dépendent, linéairement, les coefficients de l'équation 



p, le genre du système, c'est-à-dire le genre de la surface arbitraire F; 

 p^ le genre de la courbe gauche M, intersection mobile de deux sur- 

 faces F ; 

 p^ le nombre des points (w), intersections mobiles de trois surfaces F. 



» Ces dénominations adoptées, la solution du problème qui fait l'objet 

 de cette Note repose sur le lemme suivant : 



» Dans tout système linéaire de surfaces algébriques, déterminé par sa base, 

 il existe, entre les nombres caractéristiques p^, p^, Pi, p,,, la relation 



Po—Pi -i-fjt — Pa= 2. 



» Ce lemme est pourtant sujet à quelques restrictions, pour le détail 

 desquelles je renvoie, faute d'espace, à un Mémoire antérieur (' ), d'autant 

 plus que les systèmes linéaires auxquels il faut avoir recours ici échappent 

 à ces restrictions. 



» Supposons que la singularité [rr] appartienne, en même temps, à trois 

 surfaces algébriques (linéairement indépendantes si on les suppose du 

 même ordre). On est alors amené à considérer trois nombres, qui dé- 

 pendent, ainsi que Ao, de la singularité seule, savoir : 



A, l'abaissement produit par [c] dans le genre d'une surface algébrique; 



Ao l'abaissement produit par \_a~] dans le genre de la courbe d'intersection 

 de deux surfaces qui ont, en commun, cette singularité ; 



Aj l'abaissement produit par [ t] dans le nombre des points d'intersec- 

 tion de trois surfaces qui ont, en commun, cette singularité. 



» Actuellement, parmi les surfaces douées de la singularité [tJ, je con- 

 sidère toutes celles, F, d'un même ordre n, qui ne possèdent aucune 

 autre singularité. En prenant n suffisamment grand, j'obtiens un système 



(') Hendicortli ciel Circolo matemalico di Halermo, t. I, n. 338 (27 février 1887). 



