(743 ) 



linéaire [F] qui échappe entièrement, comme je l'ai dit plus haut, aux res- 

 trictions auxquelles le lemme est sujet. On a alors immédiatement, pour 

 un tel système : 



/'o = K^ + ' )(" + -)('^ + 3) - I — Ay, 

 /'- = K"- 0(«-2)(« -3) — A,, 

 ^2 = «2(n — 2) + I — Aj, 



p^— TV" — A3, 



/'o — /'.+/Ju -/>;! = 2; 



d'où 



A„ — A, + A. — A:, = o. 



» Il s'ensuit donc le théorème suivant : 



» Théorème. — Le nombre des conditions simples auxquelles équivaut, 

 pour une surface algébrique, la condition de posséder, en un point donné, une 

 singularité donnée, est égal à rabaissement que celte singularité produit dans 

 le nombre des points d'intersection de trois surfaces quelconques qui la possèdent, 

 diminué de l' abaissement produit dans le genre de la courbe gauche commune 

 à deux de ces surfaces, et augmenté de l'abaissement produit dans le genre de 

 l'une d'elles. 



» Pour le cas, très particulier, d'un point multiple ordinaire, de degré 

 r, dont le cône tangent n'est pas donné, on retrouve, tout de suite, une 

 formule connue. On a, en effet, dans ce cas, 



A,=:^r(r-i)(r-2), A, = /=(>-i), k, = r'; 



d'où 



K = ïr{r^i)(r+ 2). >. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la théorie des surfaces minima. Note de M. E. Goursat, 



présentée par M. Darboux. 



« On sait comment M. Lie a rattaché la théorie des surfaces minima 

 à l'étude des courbes dont les tangentes vont rencontrer le cercle imagi- 

 naire de l'infini, auxquelles il a donné le nom de courbes minima (^Mathe- 

 matische Annalen, t. XIV, p. 33i; t. XV, p. 465). Je rappellerai seulement 

 qu'à une courbe minima donnée correspond une surface minima réelle par- 

 faitement déterminée. Quand on applique à cette courbe un déplacement 

 réel, la surface minima réelle correspondante subit le même déplacement; 



