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 mais, si l'on applique à la courbe minima un déplacement imaginaire, on 

 obtient des surfaces minima tout à fait différentes de la première et dont 

 les relations avec celle-ci ne paraissent pas avoir été étudiées. Je me pro- 

 pose d'indiquer dans cette Note un certain nombre de résultats relatifs à 

 cette question. 



» Si l'on choisit pour coordonnées d'un point de la sphère 



0,2 + (i^ -H y- = I 



les valeurs des paramètres qui déterminent les deux génératrices rectili- 

 gnes passant par ce point, toute rotation autour de l'origine est caractéri- 

 sée par une substitution linéaire telle que 



(1) «= 



(Voir Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Chap. III.) 



)) Cette substitution dépend de six constantes réelles arbitraires; mais, 

 si la rotation est réelle, m^ et ng désignent les imaginaires conjugués de m 

 et de n, et la substitution (i) ne dépend plus que de trois constantes 

 réelles arbitraires. A l'aide de la formule (i), on démontre bien aisément 

 que, dans toute rotation imaginaire, il existe un diamètre réel et un seul 

 qui vient coïncider avec un autre diamètre réel. Par suite, toute rotation 

 imaginaire est équivalente à une suite de deux rotations : i° une rotation 

 imaginaire autour d'un axe réel ; 2" une rotation réelle. Nous pouvons donc 

 nous borner à étudier l'effet d'une rotation imaginaire autour d'un axe 

 réel. Prenons ce diamètre pour axe des s; abstraction faite d'une rotation 

 réelle, la substitution (i) prendra la forme 



(2) . u=^av, 



a étant réel et positif. 



)) Cela posé, considérons une surface minima réelle S représentée par 

 les formules de Weierstrass 



/ a: = R/(i- u-)Y{u)du, 



(3) 7 =R/«(i+"-)F(m)(/«, 



( z ^Rf2u¥(u)du; 



si l'on applique à une courbe minima de cette surface la rotation définie 

 par la formule (2), la nouvelle fonction caractéristique sera a^ l''(au), et 



