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 la nouvelle surface muiiina S, sera représentée par les équations (3) où l'on 

 aura remplacé i\u) par a^F(au). Désignons para-,, j,, z, les coordon- 

 nées d'un point de cette nouvelle surface, et par x„, y^, Zq les coordon- 

 nées d'un point de la surface So adjointe à S. Des trois groupes de formules 

 de Weierstrass relatives à ces trois surfaces, on élimine sans difficulté la 

 fonction l''(«), et l'on obtient les expressions suivantes des coordonnées 



, j:, =r iUCOsAcp + Jo sinAo, 

 (4) \ fi ~ y cosAç — .r„ sin Ao, 



OLi l'on a posé a = eï". Connaissant les deux surfaces S, S^, ces formules 

 permettent de construire !a nouvelle surface S,. 



)) Appelons x, [i, y; a,, p,, -j^ les cosinus directeurs des normales aux 

 deux surfaces S et S,, ds et ch, les éléments linéaires des deux surfaces. 

 On a les relations ci-dessous : 



clXf = (cos/îo -h Ysin/i(p)(/j; - -/.slnh'^dz, 

 (l\\ =--- (cosA'p -h ysinArp))-// — [SsinAor/:;, 



a [i Y cos /j œ + sin A o cos II -^ -t- y sin h ç- 



dy., dx, -h r/[i, r/v, -t- f/y, f/:;, = rh {dy. dx 4- r/ti r(>' ^ d- dz), 



ds, = (cos/to -h Y sinA'i);-/^. 



» On en déduit les propriétés les plus simples de la surface S,. Les sec- 

 tions des deux surfaces S et S, par un même plan perpendiculaire à Os se 

 correspondent point par point de façon que les tangentes aux points cor- 

 respondants soient parallèles. L'angle de deux lignes de la surface S est 

 égala l'angle de leurs images sur S,; les lignes de courbure et les lignes 

 asvmptotiques de S ont pour images les lignes de courbure et les lignes 

 asymptotiques de S,. Toute courbe de S dont l'image sphérique est un 

 cercle se change en une courbe de S, jouissant de la même propriété. 

 Une ligne de courbure plane se change en une ligne de courbure plane ; 

 une ligne asvmptotique hélicoïdale se change en une ligne asymptolique 

 hélicoïdale, etc. Toutes ces propriétés sont, du reste, faciles à démontrer 

 au moyen de la représentation sphérique. 



)) La transformation qui vient d'être définie dépend bien de six para- 

 mètres arbitraires réels, comme la substitution ([), à savoir : les deux pa- 



C; R., 1887, -î' Semestre. (T. CV, N» !/.) 9° 



