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 on en conclut, en raisonnant comme M. Picard pour le cas des substitu- 

 tions birationnelles (voir Comptes rendus, septembre 1886), que, «/j est 

 supérieur à i, on ne peut passer de (2) à (3) par une substitution rationnelle 

 dépendant algébriquement d'un paramètre; on voit, de plus, que p' est au 

 moins égal à p. 



» Ce point établi, supposons d'abord que p soit nul ; on peut écrire 



(5) ^ = §-(0' y = Kt), 



avec la condition 



t = k{x, y), 

 g, h et k étant rationnels. 



» D'après les formules (1), ^ sera tonction rationnelle de {x' , y'), et in- 

 versement, si / est fonction rationnelle du point analytique {x',y'), les 

 égalités (5) définissent une correspondance rationnelle entre les deux 

 courbes. On peut donc toujours passer d'une courbe de genre o à une courbe 

 quelconque par une infinité de substitutions rationnelles; ces substitutions ren- 

 ferment une fonction rationnelle arbitraire du point {x',y') de la seconde 

 courbe. 



» Passons au cas où/5 = i , et ramenons la courbe (2) à la forme 



y = \j{i-x''){i-k-x'). 

 » L'égalité (4) devient 



si cette équation est vérifiée par une fonction rationnelle du point (^x',y'), 

 les 2p' périodes de J', (qui dépendent linéairement des/?' indéterminées \) 

 sont respectivement de la forme 



mto ->r- nio', 



oi et 0/ désignant les deux périodes de J,, m et n deux entiers. On ne peut 

 satisfaire à ces conditions pour une courbe (3) quelconque; dans le cas 

 particulier où (3) coïncide avec (2), il vient 



(4 ) — 



1, doit être un entier n, et pour chaque valeur de n l'équation (4") définit 

 une classe de substitutions rationnelles dépendant d'une constante. 



)) On déduit de là qu'on ne peut en général passer d'une courbe de genre i 



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