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 à une courbe quelconque par une transformation rationnelle; si le fait est pos- 

 sible, il existe une infinité de substitutions rationnelles qui jouissent de la même 

 propriété; elles dépendent au moins d'une constante et d'un entier arbitraires; 

 elles peuvent renfermer plusieurs entiers arbitraires, mais ne sauraient dé- 

 pendre d'un second paramètre, comme on le démontre aisément. 



)) Soit enfin p^i. Si la conrhe (2) n'est pas hyperelliptique, on peut, 

 comme on sait, trouver deux courbes adjointes V^ = o, P2 ^ o, ayant sur 

 la courbe (2) (en dehors de ses points singuliers) un point commun et un 

 seul; soit P3 = o une troisième courbe adjointe; on doit avoir 



(^) 



¥,{x,y) v;p;(;r',y)+...4-Vp.p;,.(^',/)' 



i p,(^,7) ^ Rp;(.^'',/)+---+t^p-P p'(^',/) 



! \\{x,y) v,p;(x',y)+... + v„.p;,.(^',/)' 



les lettres \, jx, v désignant des constantes convenablement choisies. Pour 

 tout point (a;', y') de (3), les courbes (6) et (2) ont (en dehors des 

 points A) un point commun, et un seul. Exprimons qu'il en est ainsi; nous 

 obtenons certaines relations algébriques pour déterminer les rapports des 

 quantités \, u., v. Ces équations peuvent être compatibles, mais ne sont 

 jamais indéterminées; sinon, on pourrait passer de (2) à (3) par des sub- 

 stitutions rationnelles dépendant algébriquement d'un paramètre. Cette 

 conclusion subsiste si la courbe (2) est hyperelliptic^ue; ramenons-la, en 

 effet, à la forme 



y = v/ÏK^; 

 on a, dans ce cas, 



.,„,x _ l,P\{x',y') + ... + l,.P',.{x',y) 



^^ ^ v.p;(x',/) + ...4-v^.p;,,(x',y)' 



et par suite 



y = s/R,(a;',y); 



si l'on exprime que y est une fonction rationnelle du point analytique 

 (jc-', y') et que (.-r, y) parcouît (2) quand (x', y') parcourt (3), on obtient 

 certaines relations algébriques entre les 1, v, et le raisonnement s'achève 

 comme plus haut. // ne peut donc exister qu'un nombre fini de substitutions 

 rationnelles qui transforment une courbe algébrique de genre plus grand que 

 l'unité en une courbe donnée ». 



