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ARITHMÉTIQUE. — On suppose écrite la suite naturelle, des nombres; 

 quel est le (lo'»"")'"'"^ chilfre écrit? Note de M. É.m. Barbier. 



« 1. Pour écrire tous les nombres inférieurs à ii, il faut ii fois i ca- 

 ractère; il faut III fois 2 caractères pour écrire les nombres inférieurs 

 à 1 1 1 ; I I I I fois 3 caractères pour écrire tous les nombres inférieurs 

 à II 1 1. 



)) Généralement, il faut, pour écrire tous les nombres inférieurs au 

 nombre qui s'écrit par (n -h i) chiffres i consécutifs, un nombre de carac- 

 tères égal au produit de n par le nombre de {n -h i) chiffres i consécutifs. 



» La suite des nombres qui précèdent le nombre de 665 chiffres i em- 

 ploie le nombre (irréalisable) de caractères 



664 X 1 1 1 1 1 1 1 1 .. . =73777. . .77704, 



nombre de 667 chiffres dont 663 sont des 7. 



» 2. Pour écrire les nombres inférieurs à un nombre écrit par 997 

 chiffres I consécutifs, il faut un nombre de caractères déterminé par les 

 mille chiffres 1 10666. .. 666556; c'est moins que lo'""". 



» Pour les nombres inférieurs à 10"'", il faut, comme l'indique un exer- 

 cice de l'Arithmétique de M. J. Bertrand, 996888. . .888889 caractères; 

 c'est encore moins que 10'""". 



» Pour les nombres inférieurs à celui de 998 chiffres i consécutifs, il 

 faut un nombre de caractères marqué par looi chiffres, savoir 



II 0777... 777667; 

 c'est plus que lo"""*. 



» La différence des deux premiers nombres est un nombre de 1000 

 chiffres 886222. .. 222333 divisible par 997 et donnant pour quotient 

 888. . .889. La différence des deux derniers est aussi un nombre de 1000 

 chiffres, savoir : 1 10888 . . . 888778 égal au produit 998 X 1 1 1 1 . . . 1 1 1 . 



» 3. Il manque au nombre 996888. . .888889 pour atteindre 10"""' un 

 nombre de 998 chiffres 3 11 t . . . 1 11 . 



» Si nous connaissions le quotient N de ce nombre par 998 et le reste L 

 de la division, le L'^""= chiffre du nombre 10^" + N serait le (10"""')'^"'* 

 chiffre de la suite naturelle des nombres. 



» 4. Le nombre auquel nous voulons donner la forme 998 N + L est le 

 neuvième de 28 x 10""^ — i. 



