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rance, que personne, sans être taxé de folie, ne consentirait à payer loo*^'. 



» Il n'y a rien là qui doive surprendre : il est déraisonnable de jouer 

 gros jeu, et les conséquences sont d'autant plus fâcheuses qu'on risque 

 une plus grosse somme à un jeu qui donne une plus grande chance de la 

 perdre. Si l'on émet une loterie de loooo billets à i million le billet, il 

 sera très déraisonnable pour quiconque n'est pas très riche d'y prendre 

 un ou plusieurs billets : le calcul consulté dira cependant et doit dire que, 

 si lo milliards sont promis au gagnant, les conventions sont équitables. La 

 différence est grande entre des conventions équitables et des conventions 

 auxquelles il soit sage de souscrire. 



» Le paradoxe de Saint-Pétersbourg résulte uniquement de cette dis- 

 tinction à laquelle s'ajoute l'étonnement causé par la combinaison ingé- 

 nieuse des conditions du jeu, qui rend possibles des bénéfices immenses 

 habilement dissimulés dans l'énoncé. 



» Je veux signaler un problème très différent dans la solution duquel 

 une somme infinie représente la valeur d'une espérance que la théorie, 

 superficiellement étudiée, fait considérer comme très petite. 



» Pierre possède une fortune, petite ou grande, et joue, à des condi- 

 tions équitables ; la probabilité de gagner, par exemple, est ^ et les deux 

 enjeux sont égaux à loo*^''. 



» Quelle que soit sa fortune, dit le Calcul des probabilités, Pierre est 

 certain de se ruiner. 



)) On peut assigner un nombre de coups assez grand pour que la proba- 

 bilité de perdre à un certain instant une somme égale à la totalité de sa 

 fortune approche autant qu'on voudra de la certitude. A ce moment il doit 

 cesser de jouer, il perd toute chance de se relever et la ruine est con- 

 sommée 



» Supposons cependant que, sans se contenter de cette vague menace, 

 Pierre demande des chiffres : après combien de coups a-t-il, sa fortune étant 

 donnée, une chance ^, vme chance ^^^, une chance ~ d'être ruiné? Les 

 nombres croissent rapidement quand la probabilité approche de la 

 certitude; sans en faire ici le tableau, qui se déduit d'une intégrale très 

 connue, j'ai résolu le problème suivant : 



» Pierre propose au géomètre qui déclare sa ruine assurée de lui donner 

 autant de centimes qu'il pourra jouer de parties et demande quelle somme 

 on devra, équitablement, lui promettre en échange. 



■n Cette somme est infinie. 



