( 853 ) 



d'une seule variable / et d'une constante arbitraire C; le système (2') don- 

 nerait alors E = \(t, C), r, = ij.{t, C), et l'élimination de t donne l'intégrale 

 complète de H, (j;(E, -n, C) = o. 



» La méthode ne vaut rien dans le cas général, car les courbes I sont 

 bien plus difficiles à trouver que les intégrales de H. Mais voici un cas par- 

 ticulier, qui a pour nous une importance capitale pour les applications des 

 substitutions crémoniennes. Supposons la surface S de révolution autour 

 de l'axe des z ; l'équation de S sera 



X 



3 = (p(r), /• = (a;=+y2)-, tang9 = --^ 

 l'équation (4) devient 



(5) dz-r-d^ = o, 



et les courbes I se projettent sur xy suivant les courbes 



J I- dr 



Nous ramenons ainsi à des quadratures l'intégration de H, lorsque l'équa- 

 tion de S est s := <^{yjx- +y^), c'est-à-dire lorsque l'équation H est de la 

 forme 





[obtenue en tenant compte de (i') et (2')], quelle que soit la fonction $, 



» Si S est un conoïde ayant l'axe des z pour axe, on voit aisément que 

 les courbes I sont les génératrices rectilignes, d'où une nouvelle catégorie 

 d'équations différentielles H intégrables. 



» L'équation (5) signifie, ainsi qu'il est facile de voir, que, si le point Z 

 se meut sur une courbe I, l'aire balayée par le ravon vecteur r sur le plan 

 des xf, comptée à partir d'une origine convenable, est égale au double de 

 l'ordonnée z de Z. C'est une propriété géométrique des courbes inté- 

 grantes, curieuse en ce qu'elle subsiste pour toute équation différen- 

 tielle H. 



» On peut remarquer incidemment que, si l'on considère ç, r,, p comme 

 les coordonnées d'un point de l'espace, les équations (i') et (2') définis- 

 sent une substitution birationnelle dans l'espace, entièrement analogue aux 

 substitutions Cremona du plan. 



» Nous sommes maintenant à même d'aborder les applications des substi- 



