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n' , convenablement choisis et pouvant l'être de plusieurs manières dis- 

 tinctes. Soit, pour commencer par un cas simple ('), le svstème 



n = h I et « =: —■> SI m est pan-, 



2 2 ' ' 



on 



»î + 1 , ... 



n = = n , si m est mipan\ 



» Avec ces données, les faisceaux générateurs donnent lieu à une courbe 

 d'ordre m + i . Mais on fait en sorte que celle-ci se réduise à une courbe 

 d'ordre m (celle qui est demandée), en ajoutant préalablement aux 

 données du problème m H- 2 points sini[Jes, qui complètent le nombre des 

 données nécessaires à la détermination d'une C,,,^., et sont d'ailleurs pris à 

 volonté sur une droite L, tracée arbitrairement sans toutefois qu'elle passe 

 par aucun des autres points donnés qui déterminent C^„. La droite L fait 

 ainsi partie intégrante du lieu C,„+, engendré, et il suffit d'en faire ensuite 

 abstraction pour avoir le C^„ qu'il s'agissait de construire. 



)) Théorème I. — Si rn'^G, la constniclion de C^^ n'est possible, dans les 

 conditions précitées, que si le nombre S des points doubles, proprement dits, 



j , j -, . ^ . , , 3 «i -H a , . , 3 m -t- 1 

 donnes de position, est au plus égal a > lorsque m est pair, ou a 3 



lorsque m est impair (-). 



» K. La démonstration du théorème que je viens d'énoncer repose sur 

 les propriétés connues des faisceaux projectifs et sur un théorème (clef des 

 questions analogues) donné pour la première fois dans mon Essai sur la gé- 

 nération des courbes géométriques (^^), et dont j'avais déjà fait usage, en i856, 

 dans un article inséré au t. I (2* série) du Journal de Liomille. Ce théorème 

 consiste en ce que, « pour pouvoir construire une courbe C,„(m ^ n -\- n') 

 )i par les intersections mutuelles et continues de deux faisceaux projectifs 

 » (C„)(Cv), il faut nécessairement, si la courbe C,„ doit être douée de 



(') J'aurai à en examiner d'autres. 



(-) Tel est donc le maximum relatif aa\ valeurs précitées de n et n' ; mais ce n'est 

 point encore le maximum absulii : ce n'est, au contraire, que le /«//;//«;//» /«a.ci'/^o/'f//» 

 parmi ceux, successifs et échelonnés, qui se rapj>ortcnt aux divers systèmes de valeurs 

 de n et n' qu'on peut prendre à partir de celui-là, eu }■ accroissant progressivement 

 la valeur de /; et diminuant celle de n' d'un même nombre d'unités. 



(^) Voir le Recueil des Sarants étrangers de i858 et le Rapport, signé de Chastes 

 et Poncelet, où une mention spéciale est faite du théorème que je cite ici. (Voir les 

 Comptes rendus, séance du 7 septemine i85y, t. .\L^^ p. 3i8"). 



