( ip^ ) 



Or 



2 ' 



et l'on a encore 



comme ci-dessus. Donc, les données sont toujours celles exactement néces- 

 saires el suffisantes pour engendrer, par les deux faisceaux définis ci-dessus, 

 une C^„ possédant au plus 



2 

 OU 



2/"^ points doubles, si m est impair 



(5 = ' ' ' " •-!- 2/(/ + I ) points doubles, si m est pair, 



comme il est aisé de s'en assurer en refaisant les calculs pour ce cas, avec 

 cette ilernière valeur de ^. On démontre d'ailleurs, comme ci-dessus, que 

 Ces valeurs de (5 sont des maxima, relatifs à la valeur de /employée. 



» Ces résultats justifient l'appellation de minimum maximorum que j'ai 

 donnée plus haut aux premiers termes de ces formules dans le cas du sys- 

 tème de faisceaux employé au théorème I, pour lequel on a /= o. 



» Quant au plus grand de ces maxima relatifs, il faut, pour le déter- 

 miner, fixer la limite supérieure dey, laquelle résulte de la condition ^ ^ B', 

 et, par suite, est formulée par l'une ou l'autre des relations 



^ > — 1- y, si m est nnpair, 



ou 



~y)(---/ + 3)-8 „ 



/ V ■-'. / - o //t -1- 2 . . , 

 ^ > ^ y{./ -^ 0' SI 7n est pair. 



» Effectuant les calculs, il vient, en résumé, 



~6 



!;».■>» A.. .•— T= — ("'+4)+v^4"'(w — + 1 = w — 5 



limite (le y — .i ^ ^ — - — , s, f^ est mipan-, 



1 ■ -, I • T - — (ni -h i) -\- v/4 ni (ni — i ) -h i _ /» — 8 



lunite dey ^ J,^ -^-^ i l^i— ^ '- - ~q—' si m est pair, 



en ayant soin de prendre pour J le nombre entier immédiatement inférieur 

 à celui donné parla formule. 

 » On a donc ce théorème : 



» Théorème if. — Le maximum A du nombre des points doubles qu'on 



