( 972 ) 



à volonté et d'y faire passer un nombre égal de couples de courbes généra- 

 trices correspondantes. Comme une C, et une C„,^,, distinctes l'une de 

 l'autre, ne peuvent avoir que î(w + i) points communs, il faut bien, dès 

 qu'elles en ont un de plus, que C; fasse partie intégrante de la C,„+,- en- 

 gendrée, qui se décompose alors en deux courbes C, + C„. 



» La marche à suivre pour appliquer cette idée à la recherche dont il 

 s'agit ne diffère pas, au fond, de celle relative à l'adjonction d'une simple 

 droite. Seulement, les deux faisceaux générateurs seront alors de degrés 

 respectifs 



n = ( — \-j j , " — ( — ;; / j » SI m -\-i est un nombre pair, 



ou 



/ /» H- f + 1 A , m ->r l — l . \ . , . . , 



( ^y ) ' " = ( ; " J )' SI 7« -H « est un nombre impair. 



» En appliquant à ces données initiales les mêmes raisonnements que 

 dans la Note précitée, on arrive par des calculs faciles (que je ne repro- 

 duirai pas ici) aux conclusions suivantes (II, III, FV et V) : 



» II. Les seules valeurs de i pour lesquelles les deux bases, B, B', des 

 faisceaux générateurs absorbent la totalité : 



» 1° Des points §, désignés pour devenir doubles dans C„, ; 



» 2° Des points inconnus X, dont le nombre est (/in' — i — S), n et n' 

 étant les degrés respectifs des deux faisceaux, tandis que la somme S + L, 

 des points S, désignés pour être simples et qui, avec les points S (ceux-ci 

 comptant chacun pour trois), et les points adjoints L, = /(m + j) + i, 

 pris à volonté sur une courbe arbitraire C,, de degré /, générale dans son 

 degré et ne passant par aucun des points S ni S, complète la détermination 

 deC;n+,, ces ^eufe valeurs, disons-nous, sont les trois suivantes 



/ = o, ?= I , /= 2. 



» III. Ces trois valeurs de i sont aussi les seules pour lesquelles, quelle 

 que soit d'ailleurs la valeur dey, on puisse avoir la relation 



B + B'4- S + L = 2^ + 3X -1- 3, 



qui exprime l'une des conditions nécessaires pour la construction et 

 Vexistence de la courbe cherchée, dans le cas où l'on devrait emprunter 

 aux points S, à l'exclusion absolue des points L,, quelques points simples 



