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pour compléter les bases B, B', faute d'un nombre suffisant des points S et 

 des points inconnus X qui doivent d'abord, les uns et les autres, y entrer 

 tous; en d'autres termes, s'il arrive que le nombre (5 des points doubles 

 qu'on désire ou qu'on puisse attribuer à C^ soit moindre que le nombre 

 maximum de ces points que comportent les valeurs simultanées de m, n, 

 n' etj. On conclut delà, ainsi que de (II), que la courbe adjointe, lorsqu'il 

 convient d'en admettre une, ne peut être qu'une droite ou une conique. 

 » Pour les trois valeurs précitées de /, savoir o, i et 2, les valeurs 

 maxima de S relativement à une valeur quelconque de j, compatibles 

 avec les données, sont 



' = «() — -. ^y — ;— + 2y(/+i) 



X i 6111 -\- 1 ^ •/ • . \ \ • 1. * i > / j //r -r- » •■» l • . • 



j=i " =" \ 1- 2y(y-4- i) / si/nestpair; et 0= ( 1~ 2y > simest mipan*. 



» V. Les limites supérieures J, de / sont 



I. m — 6 



O.. J„=-^ 

 ^ »î — 8 I . . 1 /« — o , . 



^ s I . . J I = — ç — \ SI m est pair, et / J, = — - — \ si m est impair. 



» D'ailleurs, J devant être un nombre entier, on devra prendre pour sa 

 valeur le plus grand entier contenu dans les expressions précédentes; d'où 

 l'on conclut aisément que : 



» 1" Si m pair est de la forme 6/? + 2, on a pour ces valeurs entières 



d'où l'on déduit, pour les valeurs correspondantes de A,, 



A„= 2/J-4- 5/7 + 4, A, = 2/j- -f- 7/J + 4, A, = 2/j- + 5/j + 7 ; 



(') Dans le cas de « = o, le plus simple de tous, mais le plus souvent aussi, toutes 

 choses égales d'ailleurs, le moins productif en points doubles, on a m = « -f- n' . Pour 

 déduire des formules générales, où i est quelconque, celles qui le concernent, il faut 

 faire dans celles-là ?'r=o et, puisque C,- disparait, supprimer les points auxiliaires ad- 

 joints dont le nombre est i{ni + j) + i. 



