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 et, par conséquent, 1,^ àosi py2, d'où »i^i4, et A,;>A„, quels que 

 soient /j et m. 



» Si m pair est de la forme 6/> + 4, on a 



Jq — J| =/J ~ '. ^2= P'< 



d'où 



Ao = 2/r-4- 5/)+ 7, A, = 2yD-4- 7/) + 7, Ao = 2/)- H- 9/j + 8. 



» Donc Ao> A, > A„. 



» Enfin, si m pair est de la forme 6/? + 6, qui donne 



J„=/?, J, =;> — I, Jo =/?, 



on a 



A,>A,>A,. 



» 2" Si m impair est de la forme 6p + i, on a 

 d'où l'on déduit 



A„ — 2/j- + 3/? + 5, A, = 2/)" + 5/j + 4. A, = 2/j- + 7/54- 4 ; 



et par suite A^;> A, ^ A,,, quel que soit/7. 

 » Si m impair est de la forme 6p -j- 3 



Jo = J. = 3.,=p — i; 



à,= ip' + np-^ ^l, A,4- 2yD-+ 5/7+ 7, A,=: 3/J-4- 7/J+7. 



» Donc, Ao^ Ao ou A, ; et A„]> A, si /j^ ^ 2; d'où /n^ i5. 

 » Enfin, si m impair est de la forme 6p + 5, on a 



J„=/>-i, J,=p, 3., = p — i et A,>Ao>A„ 



pour /7 >■ I . 



» Il résulte de cette analyse que à., est toujours le plus grand des trois 

 nombres, sauf les cas de m pair et de la forme 6p -+- 2, ou bien de m impair 

 et de la forme 6p-\-5, où A, est le plus grand des trois. On a donc ce théo- 

 rème, but final des présentes recherches, en ce qui concerne les points 

 doubles : 



1) Théorème III. — Le maximum absolu du nombre des points doubles 

 qu'il soit permis r/'ai^nèuer arbitrairement à une courbe algébrique d'ordre m 



