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» VII. Clomrae application : i" supposons qu'on demande le maximum 

 absolu du nombre de points triples qu'on puisse attribuer arbitrairement à 

 une courbe du vingt et unième ordre. On trouve ici (où la condition /n^> H 

 est satisfaite, et au delà), par la formule ci-dessus (pour m impair), J = 3, 

 ce qui donne pour m -^-i (i étant égal à a, puisque 21 =6.3 -r 3), /i = i5 et 

 r'= y. D'ailleurs, chaque point triple donné étant équivalent à 6 points 

 simples donnés, Co, est déterminé jxir 29 points triples et i25 points 

 simples, tandis que les bases des deux faisceaux générateurs comprennent, 

 par équivalence, i34 et 43 points simples, respectivement. 



» Les bases seront, par suite, ainsi constituées : 



ToUl. 

 _ ( 29 points doubles, aux points désignés pour être triples dans Coi es 3.29 = 87 ) „, 



'^ (47 » simples inconnus ;^ 47 i 



(29 points simples, au\ points désignés pour être triples dans C,,hh 29 i , 



(14 » inconnus ^ i4 ) 



» Il entre donc dans les deux bases ensemble 47-+-'4=^t)i points 

 inconnus, c'est-à-dire, comme cela doit être, la totalité de ces points dont 

 le nombre, marqué en général par la formule X = n/î — 1 — (/• — i)<p, est 

 ici i5.8 — I — 2.29 = 61, pour la détermination desquels les données 

 restantes doivent fournir 2.61 points simples dispoiubles, sans préjudice 

 des 3 points devant ser\ ir à établir la projectivilé des deux faisceaux gêné- 



râleurs. Or la C,, demandée est complètement déterminée par — '■ — points 



simples, et la conique adjointe, eu égard à la condition qu'elle fasse partie 

 intégrante de C^i+^i en exige 2(2! -t- 2) -|- 1 = 47> soit en tout 



262 H- 4; = 299. 



Mais, comme cette courbe doit posséder 29 points triples, qui équivalent à 

 6.29 := 17'} points simples, il ne reste, comme faisant partie des données, 

 que 299 — it4 = ' --> points smiples, c'est-à-dire 2.61 -1-3; ce qui est pré- 

 cisément le nombre requis pour la solution complète du problème. 



» 2° Supposons encore qu'on demande le maximum absolu du nombre 

 des points quadruples qu'on peut attribuer arbitrairement à la courbe C^, 

 du même degré. On a ici (VI^ 



T .. 3.214-5 r, 



i=--'2, 4>o.--^ ^j =8 



