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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations différentielles, parmi 

 lesquelles, en particulier, toutes celles des lignes géodésiques se trouvent com- 

 prises. Note de M. R. Liouvilliî. 



« L'équation suivante 



(i) y" + rt, y ^ 4- 3«2 v'^ 4- 3«., y + a. = o, 



dont les coefficients a^, a.^, . .., a^ dépendent arbitrairement de x et de y, 

 se change, par les substitutions générales 



(2) x = o{x^,y,), j = i(a:,, V,), 



en une autre de même espèce. Dans ces changements, certaines fonctions 

 algébriques des coefficients et de leurs dérivées ne font que se multiplier 

 par une puissance du déterminant 



,. dx ôy dx dy 



d-i'i dyx âvi dxi 



et, pour cette raison, peuvent être désignées sous le nom d'invariants 

 relatifs. 



» L'exposant, dont le multiplicateur D se montre affecté, marque le 

 poids de l'invariant auquel il correspond; lorsque ce nombre est nul, selon 

 les conventions ordinaires, l'invariant est dit absolu. 



)) Pour abréger, soient 



d fda.2 2t)«3 \ ., / ôa, o.da, \ 



^^^ = 5:ï(,^-^'^<«^) + «'ijy + 3fl,r,,) 



)) Les relations L, = o, Lo = o sont celles que vérifie à la fois l'équa- 

 tion (i), lorsqu'elle admet une intégrale où les constantes arbitraires 

 entrent linéairement {Comptes rendus, séance du 20 septembre 1886), et, 

 dans ce cas, il est clair que tous ses invariants s'évanouissent. 



